湖北省沙市中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题命题：高一数学组考试时间：2021年1月31日一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．已知集合{|ln(2)}A x y x ==-，集合2{|20}B x x x =-<，则A B =（ ） A ．{|0}x x < B ．{|2}x x < C ．{|02}x x <<D ．∅2．cos1050︒=A.12 B. 12- C.3- D.3 3．已知a >0且a ≠1，则“log 1a b >”是“b a >”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4t （月份） 2 3 4 5 6 … y （万元） 1.40 2.56 5.31 11 21.30 …） A ．y t = B ．123t y =⋅ C ．y t = D ．212y t = 5．已知1cos 123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 则5sin 12πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=A ．13-B ．13C ．223-D ．2236．已知1ln 2a =,sin 6b π=,122c - =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<7．函数1()()21xx f x x -=+的部分图象大致是（ ） A ．B ．C ．D ．8．已知函数2()[sin()]3)cos()f x x x x ωωω=+(0)ω>在[0,]π上有且只有四个零点，则实数ω的取值范围是（ ）A. 5[,2]3B.5(,2)3C. 5[,2)3D.5(,2]3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列命题中正确的命题有( )A ．函数()tan()4f x x π=-的定义域为{|,}4x R x k k Z ππ∈≠-∈；B ．命题“∀x R ∈，ln 0x x ->”的否定是“∃0x R ∈，00ln 0x x -<”；C ．函数()11f x x x =+⋅-与函数2()1g x x =-是同一个函数；D ．用二分法求函数()ln 26f x x x =+-在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过7次二分后，精确度达到0.01．10．()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示. 则()f x 的解析式可能为（ ）A ．()22sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()52cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．已知函数2()2sin()3f x x ωπ=-，其中ω为常数，且(0,6)ω∈，将函数()f x 的图象向左平移24π个单位所得的图象对应的函数为偶函数，则以下结论正确的是（ ）A ．2ω=B ．点(,0)6π是()f x 的图象的一个对称中心C ．()f x 在[,]62ππ上的值域为[3,0]- D ．()f x 的图象在5[0,]6π上有四条对称轴 12．已知函数2()lg(45)f x ax x a =+-+，若对任意的m R ∈，均存在0x 使得0()f x m =，则a 的可能取值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数31log ,0()23,0xx x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则1()9f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ． 14．已知1tan 31tan αα+=-，则2sin 2sin cos 1ααα-+= ．15．方程22(1)260x m x m +-++=有两个实根12,x x ，且满足12014x x <<<<，则m 的取值范围为 ．16．已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足(1)(1)f x f x -=+，且当(0,1)x ∈时，3()24xf x =-，则12(log 25)f = ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)（1）设0,0x y >>，若2x y +=，求12x y+的最小值； （2）若角α的终边经过点34(,)55，求22sin sin 2cos cos2αααα++的值．18．（本小题满分12分）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．①函数1()cos()sin (0)2264f x x x ωωπω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭． ②函数31()cos()sin()+cos()(0)224f x x x x ωωωω=>； ③函数1()sin()0,||22f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭对任意x R ∈都有5()()06f x f x π+-=成立；已知_______（填所选条件序号），函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π． （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间和对称中心、对称轴．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19．（本小题满分12分）如图为某市生态湿地公园平面图，左右两边三角形区域是绿地，中间扇形区域OCD 为荷塘。

其中O 是AB 的中点，1OA OC OD km ===，3COB AOD π∠=∠=．（1）求湿地公园的总面积；（2）现要投入100万元在公园内栽种经济作物，以其利润养护公园。

其中在绿地AOD ∆区域种植鲜花，在中间荷塘OCD 区域种植莲藕，在COB ∆区域种植果树，已知种植鲜花和种植果树投入相同资金，年利润均为P （万元），种植莲藕的年利润为Q （万元），它们与投入资金x （万元）的关系有经验公式：,8xP x Q ==，为获得最大利润，对三个区域的资金投入分别应为多少？一年能获得的总利润最大是多少？20．(本小题满分12分)已知函数()cos(2)6f x x π=-（1）用五点法作出()f x 在13[,]1212ππ内的图象；（2）若[0,]απ∈，且()tan(+)124f ππαα+=，求α的取值集合.21．（本小题满分12分）已知函数1()21x f x a =+-定义在是非零实数集上的奇函数， （1）求实数a 的值；（2）判断并用定义法证明函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；（3）若()|()|g x f x =，求满足(1)(32)g a g a +<-的实数a 的取值范围．22．(本小题满分12分)已知函数()12log (2sin 1)3f x x =+- .（1）求()f x 的定义域； （2）若0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域；（3）设a R ∈，函数()[]2232,0,1g x x a x a x =--∈，若对于任意10,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的[]00,1x ∈，使得01()()g x f x = 成立，求a 的取值范围.高一年级期末考试数学答案1．A 2．D 3．D 4．B 5．B 6．A 7．C8．C （《课时跟踪检测》P257 T6改编）9．AD （D 选项《课时跟踪检测》P232 T3改编） 10．BC11．BD 解：2()2sin()3f x x ωπ=-，将函数()f x 的图象向左平移24π个单位所得的图象对应的函数 为偶函数，得2()2432x k πππωπ+-=+，k Z ∈，∴2428,k k Z ω=+∈由(0,6)ω∈，得4ω=，故A 错。

∴2()2sin(4)3f x x π=-12．ABD 解：依题意知：函数2()lg(45)f x ax x a =+-+的值域为R ，则0a =或00a >⎧⎨∆≥⎩，解得：01a ≤≤或4a ≥，故选ABD 。

13．11 14．25 15．75(,)54--（《学案》P102 T1原题）16．1316-17．解（１）32+ -----------5分 （2）43sin ,cos 55αα==，22sin sin 220cos cos2αααα+∴=+ -----------10分18．（1）（黄冈9月高三质量检测改编）选择条件①：依题意，1()cossin 2264f x x x ωωπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭即有：11()coscos 22224f x x x x ωωω⎫=+-⎪⎝⎭ -----------2分化简得：211()cos cos 22224f x x x x ωωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭即有：11()cos sin 426f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭又因为()f x 相邻两对称轴之间距离为2π，则周期为π，从而2ω=， -----------4分从而1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，134f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ -----------6分选择条件②：依题意，1()cos cos 2224f x x x x ωωω=+即有：11()sin cos sin 4426f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭-----------2分又因为()f x 相邻两对称轴之间距离为2π，则周期为π，从而2ω=， -----------4分 从而1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，134f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ -----------6分 选择条件③：依题意，()f x 相邻两对称轴之间距离为2π，则周期为π，从而2ω=，-----------2分 对任意x R ∈都有5()()06f x f x π+-=成立， 则()f x 的图象关于5(,0)12π对称，则5212k πϕπ⨯+=，k Z ∈，由||2πϕ<知6πϕ=，---4分从而1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，134f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ -----------6分（2）1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵26t x π=+是增函数，则其单调递增区间为2222621,k x k k z πππππ-≤+≤+∈， -----------7分解得,,36x k k k z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，从而()f x 的单调增区间为36,,k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ -----------9分又由2,6212k x k k Z x ππππ+=∈⇒=-， 得()f x 的对称中心的坐标为(,0),212k k Z ππ-∈ -----------11分同理：()f x 的对称轴为直线26k x ππ=+，k Z ∈ ----------12分19．（1）依题意知：34AODBOCS S==，---------2分；扇形面积11236S ππ=⨯⨯=，---------4分 ∴总面积326S π=+ ---------5分 答：湿地公园总面积为36π+平方公里（注：不带单位扣1分）． -----------6分 （2）（《课时跟踪检测》P206 T4改编）设投资种植鲜花和果树各为x 万元，则投资种植莲藕为1002x -万元，050x ≤≤---------7分则总利润100228x y x -=+5024xx -=+-----------8分 令x t =，则2x t =，052t ≤≤ -----------9分∴2125242y t t =-++，当4t =时，max 3316.52y ==， -----------10分此时16x =，100268x -=， -----------11分由此可知，投资种植鲜花和种植果树均为16万元，投资种植莲藕68万元时总利润取得最大值，最大值为16.5万元 -----------12分 20．解：（1）五点法作图，先列表， …………3分 再画图--------------6分（II ）（《课时跟踪检测》P256 T4改编）由（I ）得()cos 2tan(+)124f ππααα+==，令4πθα=+，则5[,]44ππθ∈，4παθ=-，∴tan cos(2)sin 22πθθθ=-=2sin cos θθ=，得：sin 0θ=或2cos 2θ=±，---------9分 ∵5[,]44ππθ∈，∴θπ=或4π或34π或54π， ------------11分∴α的取值集合为3{0,,,}24πππ -----------12分21．解：（1）函数1()21x f x a =+-是奇函数()()f x f x ⇒-=-对任意非零实数x 恒成立， ∴12a =； （注：若由(1)(1)0f f -+=求出12a =需检验） -----------3分（2）()f x 在(0,)+∞上单调递减，证明如下： -----------4分任取120x x <<，则2112121211111122()()2212212121(21)(21)x x x x x x x x -+-+=-=------， ∵120x x <<，∴12210,210x x ->->，且21220x x->，∴121111221221x x +>+--，即12()()f x f x >， -----------6分 所以，函数()y f x =在区间(0,)+∞上为减函数。