4
D．5
【思路分析】通过集合 B，利用 x∈A，y∈A，x＜y，x+y∈A，求出 x 的不同值，对应 y 的值的个数，求出
集合 B 中元素的个数．
【答案】解：因为集合 A＝{1，2，3，4，5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x＜y，x+y∈A}，
当 x＝1 时，y＝2 或 y＝3 或 y＝4；
由①②知：a＝0．
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是，集合元素的性质，难度不大，属于基础题．
【练 2.3】在集合 A {1 ， a2 a 1， a2 2a 2} 中， a 的值可以是 ( )
A．0
B．1
C．2
D．1 或 2
【思路分析】对于集合 A＝{1，a2﹣a﹣1，a2﹣2a+2}中的三个元素必须互不相同，由此限定参数 a 的取值
只有 B 成立，
故选：B．
【点睛】本题考查简单的合情推理，特殊值验证法是解决问题的关键．
【考点 5 定义集合】 【练 5】集合 A {1 ，2，3， 5}，当 x A 时，若 x 1 A 且 x 1 A ，则称 x 为 A 的一个“孤立元素”，则 A
中孤立元素的个数为 ( )
A．1
B．2
C．3
A．1
B．2
C．3
【思路分析】根据元素与集合之间的关系判断四个结论是否正确
【答案】解：由于①π∈R；② ∉Q； ③0∉N*；④|﹣4|∈N*．故①②正确，③④错误
故选：B．
【点睛】本题考查元素与集合之间的关系，属于基础题．
【练 3.2】下列关系中，正确的个数为 ( )
① 5 R ；② 1 Q ；③ 0 {0} ；④ 0 N ；⑤ Q ；⑥ 3 Z ． 3
【答案】解：∵A＝{x|x≤2 ，x∈R}，a t，b
，
由 t＞ ，可得 a∉A
由 2 ＜ ，可得 b∈A
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，判断一个元素是否属于一个集合，关键是判断元素
是否满足集合的条件．
【练 3.1】下列所给关系正确的个数是 ( )
① R ；② 3 Q ；③ 0 N * ；④ | 4 | N* ．
当 x＝3 时，x﹣2＝1，x2﹣4＝5，满足集合元素不重复，错误；
当 x＝4 时，x﹣2＝2，x2﹣4＝12，满足集合元素不重复，错误；
当 x＝5 时，x﹣2＝3，x2﹣4＝21，满足集合元素不重复，错误；
故选：A．
【点睛】本题考查元素与集合的关系，集合的元素的性质，基本知识的应用．
【练 2.2】若 1{2 ， a2 a 1， a2 1} ，则 a ( )
【思路分析】集合内的元素要满足：确定性，无序性，互异性．
【答案】解：高一数学课本中较难的题不满足确定性，故不是集合；
故选：A． 【点睛】本题考查了集合内的元素的特征，要满足：确定性，无序性，互异性，属于基础题． 【练 1.2】考察下列每组对象，能组成一个集合的是 ( )
①油高高一年级聪明的学生
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点
在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；
在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故③错误；
在④中，不大于 3 的所有自然数能构成一个集合，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意集合中元素的确定性的合理运用．
【考点 2 元素的特征】
【练 2】若 a {1 ， a2 2a 2} ，则实数 a 的值为 ( )
【练 4.1】设集合 A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{﹣1，0，1}，C＝{（x，y）| t
1，x∈A，y∈B}，则
集合 C 中元素的个数为（ ）
A．11
B．9
C．6
D．4
【思路分析】由题意可得出：x 从﹣1，0，1 任选一个，y 从而﹣1，0，1 任选一个，有 9 种选法；x 从﹣2，
2 任选一个，y 只能为 0，有 2 种选法，共有 11 种选法，从而得出集合 C 中元素个数为 11．
【答案】解：对于①，N 是一个集合，∴1∈N，正确． 对于②： 是无理数，∴ ∉N*；不正确．
对于③： 是有理数，Q 是有理数集， ∈Q，正确．
对于④：R 是实数集，∴2 ∈R，不正确． 对于⑤：Z 是整数集，∴t 2∈Z．不正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．
【考点 4 集合与元素的关系】
【答案】解：选项 A，B，C 所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合， 选项 D 的标准唯一，故能组成集合． 故选：D． 【点睛】本题考查了集合的概念，属简单题． 【练 1.1】下列各组对象中不能形成集合的是 ( )
A．高一数学课本中较难的题 B．高二（2）班学生家长全体 C．高三年级开设的所有课程 D．高一 (12) 班个子高于1.7m 的学生
【答案】解：根据条件得：x 从﹣1，0，1 任选一个，y 从而﹣1，0，1 任选一个，有 9 种选法；
x＝﹣2 或 2 时，y＝0，有两种选法，共 11 种选法；
∴C 中元素有 11 个．
故选：A．
【点睛】考查列举法、描述法的定义，以及组合的知识．
【练 4.2】已知集合 A {1 ，2，3，4， 5}， B {(x, y) | x A ， y A ， x y ， x y A} ，则集合 B 中的元
y 、 z) S 且 (z ， w ， x) S ，则下列选项正确的是 ( )
A． ( y ， z ， w) S ， (x ， y ， w) S
B． ( y ， z ， w) S ， (x ， y ， w) S
C． ( y ， z ， w) S ， (x ， y ， w) S
D． ( y ， z ， w) S ， (x ， y ， w) S
故选：D．
【点睛】本题考查元素与集合的关系的判断，考查注意实数集、有理数集、正自然数集的性质的合理运用，
是基础题．
【练 3.3】下列正确的命题的个数有 ( )
①1 N ；② 2 N * ；③ 1 Q ；④ 2 2 R ；⑤ 4 Z ．
2
2
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【思路分析】根据元素与集合的关系进行判断．
【练 5.1】设集合 A {2 ，1} ，B {1，2} ，定义集合 A B {x | x x1x2 ， x1 A ， x2 B} ，则 A B 中
知识链接
1.1.1 集合的含义及其表示重难点题型【举一反三系列】
举一反三
【考点 1 集合的概念】 【练 1】下面给出的四类对象中，能组成集合的是 ( )
A．高一某班个子较高的同学 B．比较著名的科学家
C．无限接近于 4 的实数 D．到一个定点的距离等于定长的点的全体 【思路分析】研究是否能组成集合，只需观察描述的对象没有一个明确的标准，再逐一检验即可．
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是，集合元素的性质，难度不大，属于基础题．
【练 2.1】集合{x 2 ， x2 4 ， 0} 中的 x 不能取的值是 ( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【思路分析】利用选项 x 的值，验证满足集合元素不重复即可得到选项．
【答案】解：当 x＝2 时，x﹣2＝0，x2﹣4＝0，满足集合元素重复，x 不能取 2；
【考点 3 元素与集合的表示方法】
【练 3】已知 A x x 2 3 ， x R} ， a 14 ， b 2 2 ，则 (
)
A． a A ，且 b A
B． a A ，且 b A
C． a A ，且 b A
D． a A ，且 b A
【思路分析】根据已知中 A＝{x|x≤2 ，x∈R}，判断 a，b 的值与 的大小，可得 a，b 与集合 A 的关系
D．4
A．6
B．5
C．4
D．3
【思路分析】利用元素与集合的关系及实数集、有理数集、自然数集的性质直接求解．
【答案】解：由元素与集合的关系，得：
在①中， ∈R，故①正确；
在②中， ，故②正确；
在③中，0∈{0}，故③错误；
在④中，0∈N，故④错误；
在⑤中，π∉Q，故⑤错误； 在⑥中，﹣3∈Z，故⑥正确．
③不小于 3 的正整数 A．①②
④ 3 的近似值．
B．③④
C．②③
D．①③
【思路分析】根据集合元素的明确性，可得①④当中的对象不明确，故不能构成集合；而②③当中的对象
符合集合元素的性质，可以构成集合．
【答案】解：对于①，“某高中高一年级聪明的学生”，其中聪明没有明确的定义，故不能构成集合；
对于②，“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”，符合集合的定义，能构成集合；
范围，即利用集合中元素的互异性即可解决本题．
【答案】解：当 a＝0 时，a2﹣a﹣1＝﹣1，a2﹣2a+2＝2，
当 a＝1 时，a2﹣a﹣1＝﹣1，a2﹣2a+2＝1，
当 a＝2 时，a2﹣a﹣1＝1，a2﹣2a+2＝2，
由集合中元素的互异性知：选 A．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了集合的元素的特征，主要是集合中元素的互异性，属于基础题．
【练
4】集合
A
{x
Z
|
y
12 x3
，
y Z} 的元素个数为
(
)
A．4
B．5
C．10
D．12
【思路分析】根据题意，集合中的元素满足 x 是整数，且 是整数．由此列出 x 与 y 对应值，即可得到题
中集合元素的个数．
【答案】解：由题意，集合{x∈Z|y ∈Z}中的元素满足
x 是整数，且 y 是整数，由此可得 x＝﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9； 此时 y 的值分别为：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1， 符合条件的 x 共有 12 个， 故选：D． 【点睛】本题求集合中元素的个数，着重考查了集合元素的性质和用大写字母表示数集等知识，属于基础 题．