�μ已知时σ2的双侧假设检验 检验假设H0:σ2=σ02 , H1:σ2≠σ02
1 T= 2 σ0
n
2 2 ( X − µ ) ~ χ ( n) ∑ i
i =1
2 ⎧ ⎪ P (T ≥ χα 2 (n) ) = α 2 ⎨ 2 ⎪ ⎩ P (T ≤ χ1−α 2 (n) ) = α 2 2 2 当T > χα 2 (n)或T < χ1−α 2 (n), 拒绝H 0 ,
n = 7, X = 4.36, S 2 = 0.0351, α = 0.05
2 2 查表χα ( n − 1 ) = 14 . 4492 , χ /2 1−α / 2 ( n − 1) = 1.2373, 代入得
( n − 1) S 2 ( n − 1) S 2 = 0.0146, 2 = 0.1702 2 χα 2 (n − 1) χ1−α 2 (n − 1) ∴σ2的双侧置信区间为 (0.0146, 0.1702).
2
∵T=16.789>14.45, ∴拒绝H0。即不能认为新工 艺炼出的铁水含碳量的方差仍为 0.1122。
�μ已知时σ2的双侧置信区间
⎛ Xi − µ ⎞ 2 T = ∑⎜ ~ χ ( n) ⎟ σ ⎠ i =1 ⎝ 2 n ⎛ 2 ⎞ X − µ ⎛ ⎞ 2 i P⎜ χ1−α 2 ( n) < ∑ ⎜ < χα 2 ( n ) ⎟ = 1 − α ⎟ ⎜ ⎟ σ ⎝ ⎠ i = 1 ⎝ ⎠
�μ未知时σ2的双侧置信区间
(n − 1) S 2 2 T= ~ χ (n − 1) 2 σ ⎛ 2 ⎞ (n − 1) S 2 2 P⎜ < χα 2 (n − 1) ⎟ ⎜ χ1−α 2 (n − 1) < σ 2 ⎟ = 1− α ⎝ ⎠
2 ⎞ ⎛ (n − 1) S 2 ( n − 1 ) S 2 ⎜ ⎟ = 1−α P 2 <σ < 2 ⎜ χα 2 ( n − 1) ⎟ χ ( n − 1 ) 1 − α 2 ⎝ ⎠
⎛ (n − 1) S 2 ⎞ ⎜ ⎜ χ 2 ( n − 1) ,+∞ ⎟ ⎟ ⎝ α ⎠
�μ未知时σ2的右侧假设检验 检验假设H0:σ2≤σ02 , H1:σ2>σ02
当T > χ (n − 1), 拒绝H 0 ,
2 α
否则,接受H0.
�μ未知时σ2的单侧上限置信区间
⎛ (n − 1) S 2 ⎞ ⎜ ⎜ 0, χ 2 (n − 时nσ2的单侧下限置信区间 ⎛ ⎞ 2 ⎜ ∑ ( X i − µ) ⎟
⎜ ⎜ ⎜ ⎝
i =1
2 χα ( n)
�μ已知时σ2的右侧假设检验 检验假设H0:σ2≤σ02 , H1:σ2>σ02
当T > χ (n), 拒绝H 0 ,
2 α
,+∞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
否则,接受H0.
�σ12、σ22已知时μ1-μ2的左侧假设检验 检验假设H0:μ≥μ0, H1:μ<μ0
当U < −uα , 拒绝H 0 ,
否则,接受H0.
n ⎛ n 2 2 ⎞ ⎜ ∑ ( X i − µ) ∑ ( X i − µ) ⎟ i =1 ⎜ i =1 ⎟ , 2 2 ⎜ χα ⎟ ( n ) χ 2 1−α 2 ( n) ⎜ ⎟ 5 ⎝ ⎠ 2 n = 5, ∑ ( X i − µ ) = 0.0315, α = 0.10
i =1
2 2 查表χα ( n ) = 11 . 0703 , χ /2 1−α / 2 ( n) = 1.21.1455, 代入得
即得σ2的双侧置信区间
2 ⎞ ⎛ (n − 1) S 2 (n − 1) S ⎟ ⎜ , 2 2 ⎜ χ (n − 1) χ ⎟ ( n − 1 ) 1−α 2 ⎝ α2 ⎠
�μ未知时σ2的双侧假设检验 检验假设H0:σ2=σ02 , H1:σ2≠σ02
(n − 1) S 2 2 T= ~ χ ( n − 1) 2 σ0
⎛ n ⎜ ∑ ( X i − µ )2 P⎜ i =1 2 <σ 2 < ⎜ χ α 2 ( n) ⎜ ⎝ ⎞ (Xi − µ) ⎟ ∑ i =1 ⎟ = 1− α χ12−α 2 (n) ⎟ ⎟ ⎠
2
n
2
n
即得σ2的双侧置信区间
n ⎛ n 2 2 ⎞ ⎜ ∑ ( X i − µ) ∑ ( X i − µ) ⎟ i =1 ⎜ i =1 ⎟ , 2 2 ⎜ χα ⎟ ( n ) χ 2 1−α 2 ( n) ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
(2)H0:σ2=0.1122 , H1:σ2≠0.1122
(n − 1) S 2 T= ~ χ (n − 1) 2 σ ( n − 1) S 2 T= = 16.7889 2 σ0
2 2 α = 0.05, χα ( n − 1 ) = 14 . 4492 , χ /2 1−α / 2 ( n − 1) = 1.2373
2 ⎧ P ( T > χ α 2 ( n − 1) ) = α 2 ⎪ ⎨ 2 P ( T < χ ⎪ 1−α 2 ( n − 1) ) = α 2 ⎩ 2 2 当T > χα ( n − 1 ) 或 T < χ 2 1−α 2 ( n − 1), 拒绝H 0 ,
否则,接受H0.
�μ未知时σ2的单侧下限置信区间
�μ已知时σ2 n的单侧上限置信区间 ⎛ 2 ⎞ ⎜ ∑ ( X i − µ) ⎟
⎜ 0, ⎜ ⎜ ⎝
i =1
χ12−α ( n)
�μ已未知时σ2的左侧假设检验 检验假设H0:σ2≥σ02 , H1:σ2<σ02
当T < χ
2 1−α
⎟ ⎟ ⎟ ⎠
(n), 拒绝H 0 ,
否则,接受H0.
例6.设维尼纶纤度在正常生产条件下服从正态分布 N(1.405,0.0482)，某日抽出5根纤维，测得其纤 度为：1.32 1.36 1.55 1.44 1.40 (1) 求这一天生产的维尼纶纤度方差的双侧置 信区间；(2)这一天生产的维尼纶的纤度的方 差是否正常？（α =0.10） 解：(1) μ已知时σ2的双侧置信区间为
�σ12、σ22已知时μ1-μ2的双侧假设检验 检验假设H0: μ1=μ2, H1: μ1≠ μ2
U= X −Y σ σ + m n
2 1 2 2
~ N (0,1)
P (U > uα 2 ) = α
当U > uα 2时, 拒绝H 0 ,
否则,接受H0.
�σ12、σ22已知时μ1-μ2的单侧下限置信区 间
�σ12、σ22已知时μ1-μ2的双侧置信区间
X − Y − ( µ1 − µ 2 ) σ σ + m n
2 1 2 2
~ N (0,1)
即得μ1-μ2的双侧置信区 间 2 2 2 2 ⎞ ⎛ σ σ σ σ 1 2 1 2 ⎟ ⎜ X −Y − u + , X − Y + u + α 2 α 2 ⎜ ⎟ m n m n ⎝ ⎠
2 2 ⎛ ⎞ σ σ 1 2 ⎜ X −Y −u ⎟ + , +∞ α ⎜ ⎟ m n ⎝ ⎠
�σ12、σ22已知时μ1-μ2的右侧假设检验 检验假设H0: μ1≤μ2, H1: μ1 >μ2
当U > uα , 拒绝H 0 ,
否则,接受H0.
�σ12、σ22已知时μ1-μ2的单侧上限置信区间
2 2 ⎞ ⎛ ⎜ − ∞, X − Y + u σ 1 + σ 2 ⎟ α ⎜ ⎟ m n ⎝ ⎠
n
2 ( X − µ ) ∑ i
n
2 ( X − µ ) ∑ i
i =1
χ (n) χ ( n) ∴σ2的双侧置信区间为 (0.0028, 0.0275).
2 α 2
= 0.0028,
i =1
2 1−α 2
= 0.0275
(2)H0:σ2=0.0482 , H1:σ2≠0.0482 1 n T = 2 ∑ ( X i − µ ) 2 ~ χ 2 ( n) σ i =1 1 n 2 T = 2 ∑ ( X i − µ ) = 13.67 σ 0 i =1
2 2 α = 0.10, χα ( n ) = 11 . 0703 , χ /2 1−α / 2 ( n) = 1.1455
∵T=13.67>11.07, ∴拒绝H0。即这一天生产的维 尼纶的纤度的方差不正常。
7.6
�双正态总体均值的区间估计与假设检验
�求μ1-μ2的双侧置信区间与双侧检验 H0: μ1=μ2, H1: μ1≠ μ2 �求μ1-μ2的单侧下限置信区间与右侧检验 H0: μ1≤μ2, H1: μ1 >μ2 �求μ1-μ2的单侧上限置信区间与左侧检验 H0: μ1≥μ2, H1: μ1< μ2
�μ未知时σ2的左侧假设检验 检验假设H0:σ2≥σ02 , H1:σ2<σ02
当T < χ
2 1−α
(n − 1), 拒绝H 0 ,
否则,接受H0.
例5.某炼铁厂铁水的含碳量 X，在正常情况下服从 正态分布N(μ,0.1122)。现对操作工艺进行某些 改变，从中抽取了 7炉铁水的试样，测得含碳量 数据如下： 4.421，4.052，4.357，4.394，4.326，4.287，4.683 (1)求新工艺炼出的铁水含碳量方差的双侧置信 区间;(2)是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量 的方差仍为0.1122？（α =0.05 ） 解：(1) μ未知时σ2的双侧置信区间为 2 ⎞ ⎛ (n − 1) S 2 ( n − 1 ) S ⎜ ⎟ , 2 2 ⎜ χ (n − 1) χ ⎟ ( n − 1 ) α 2 1 − α 2 ⎝ ⎠
X − µ0 20 (3.399 − 3.25) T= = ≈ 2.563 0.2622 S/ n