统计学复习笔记第七章 参数估计一、 思考题1． 解释估计量和估计值在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量。

估计量也是随机变量。

如样本均值，样本比例、样本方差等。

根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。

2． 简述评价估计量好坏的标准（1）无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。

（2）有效性：是指估计量的方差尽可能小。

对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。

（3）一致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。

3． 怎样理解置信区间在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。

置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。

有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差（即置信区间），并不说明置信度，也不给出被调查的人数，这是不负责的表现。

因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”），有误导读者之嫌。

在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。

这样则可以由此推算出置信度（由后面给出的公式），反之亦然。

4． 解释95%的置信区间的含义是什么置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量(是随机的)覆盖总体参数的概率。

也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%（的区间）包含参数。

不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以0.95的概率覆盖总体参数。

5． 简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。

1. 估计总体均值时样本量n 为2. 样本量n 与置信水平1-α、总体方差、估计误差E 之间的关系为其中： 2222α2222)(E z n σα=n z E σα2=▪ 与置信水平成正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所需要的样本量越大；▪ 与总体方差成正比，总体的差异越大，所要求的样本量也越大；▪ 与与总体方差成正比，样本量与估计误差的平方成反比，即可以接受的估计误差的平方越大，所需的样本量越小。

二、 练习题1． 从一个标准差为5的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。

1) 样本均值的抽样标准差等于多少？2) 在95%的置信水平下，估计误差是多少？解：已知总体标准差σ=5，样本容量n=40，为大样本，样本均值x =25， （1）样本均值的抽样标准差x σ=0.7906 （2）已知置信水平1－α=95%，得 α/2Z =1.96，于是，允许误差是E =α/2Z ×0.7906=1.5496。

2． 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。

1) 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差。

2) 在95%的置信水平下，求估计误差。

3) 如果样本均值为120元，求总体均值µ的95%的置信区间。

解：（1）已假定总体标准差为σ=15元，则样本均值的抽样标准误差为 x σσ15=2.1429 x x x（2）已知置信水平1－α=95%，得 α/2Z =1.96，于是，允许误差是E =n α/2σZ =1.96×2.1429=4.2000。

（3）已知样本均值为x =120元，置信水平1－α=95%，得 α/2Z =1.96，这时总体均值的置信区间为 n±α/2σx Z =120±4.2=124.2115.8 可知，如果样本均值为120元，总体均值95%的置信区间为（115.8，124.2）元。

3． 从一个总体中随机抽取n =100的随机样本，得到=104560，假定总体标准差σ = 85414，试构建总体均值µ的95%的置信区间。

解： 已知n =100， =104560，σ = 85414，1-α＝95% ，由于是正态总体，且总体标准差已知。

总体均值μ在1-α置信水平下的置信区间为104560 ± 1.96×85414÷√100= 104560 ±16741.1444． 从总体中抽取一个n =100的简单随机样本，得到 =81，s=12。

要求：1） 构建µ的90%的置信区间。

2） 构建µ的95%的置信区间。

3） 构建µ的99%的置信区间。

解：由于是正态总体，但总体标准差未知。

总体均值μ在1-α置信水平下的置信区间公式为x x 2α()28.109,44.10192.336.105251096.136.1052=±=⨯±=±n z x σαx81±×12÷√100 = 81±×1.21）1-α＝90%， 1.65 其置信区间为 81 ± 1.982）1-α＝95% ，其置信区间为 81 ± 2.3523) 1-α＝99%， 2.58其置信区间为 81 ± 3.0965． 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。

1） = 25，σ = 3.5，n =60，置信水平为95%2） =119，s =23.89，n =75，置信水平为98%3） =3.149，s =0.974，n =32，置信水平为90%解：∵ ∴ 1） 1-α＝95% ，其置信区间为：25±1.96×3.5÷√60= 25±0.8852） 1-α＝98% ，则α=0.02, α/2=0.01, 1-α/2=0.99,查标准正态分布表,可知: 2.33其置信区间为: 119±2.33×23.89÷√75= 119±6.3453) 1-α＝90%， 1.65其置信区间为: 3.149±1.65×0.974÷√32x x x 22未知αα)(22未知或σσααns z x n z x ±±= 3.149±0.2846． 利用下面的信息，构建总体均值µ的置信区间：1） 总体服从正态分布，且已知σ = 500，n = 15，=8900，置信水平为95%。

解： N=15，为小样本正态分布，但σ已知。

则1-α＝95%，。

其置信区间公式为 ∴置信区间为：8900±1.96×500÷√15=（8646.7 , 9153.2）2） 总体不服从正态分布，且已知σ = 500，n = 35， =8900，置信水平为95%。

解：为大样本总体非正态分布，但σ已知。

则1-α＝95%，。

其置信区间公式为 ∴置信区间为：8900±1.96×500÷√35=（8733.9 9066.1）3） 总体不服从正态分布，σ未知，n = 35， =8900，s =500，置信水平为90%。

解：为大样本总体非正态分布，且σ未知，1-α＝90%，1.65。

其置信区间为：8900±1.65×500÷√35=（8761 9039）4） 总体不服从正态分布，σ未知，n = 35， =8900，s =500，置信水平为99%。

解：为大样本总体非正态分布，且σ未知，1-α＝99%， 2.58。

2α()28.109,44.10192.336.105251096.136.1052=±=⨯±=±n z x σαx x 2α()28.109,44.10192.336.105251096.136.1052=±=⨯±=±n z x σαx x其置信区间为：8900±2.58×500÷√35=（8681.9 9118.1）7.某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据（单位：小时）：3.3 3.1 6.2 5.8 2.34.15.4 4.5 3.24.4 2.05.4 2.66.4 1.8 3.5 5.7 2.32.1 1.9 1.2 5.1 4.3 4.23.6 0.8 1.54.7 1.4 1.2 2.9 3.5 2.4 0.5 3.6 2.5求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%、95%和99%。

8.从一个正态总体中随机抽取样本量为8的样本，各样本值分别为：10，8，12，15，6，13，5，11。

求总体均值µ的95%置信区间。

解：本题为一个小样本正态分布，σ未知。

先求样本均值：= 80÷8=10再求样本标准差：= √84/7 = 3.4641于是 , 的置信水平为的置信区间是,已知，n = 8，则,α/2=0.025，查自由度为n-1 = 7的分布表得临界值 2.45所以，置信区间为：10±2.45×3.4641÷√79.某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样本，他们到单位的距离分别是：10，3，14，8，6，9，12，11，7，5，10，15，9，16，13，2。

假设总体服从正态分布，求职工上班从家里到单位平均距离的95%的置信区间。

10.从一批零件是随机抽取36个，测得其平均长度是149.5，标准差是1.93。

2)求确定该种零件平均长度的95%的置信区间。

3)在上面估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请解释。

解：1）这是一个大样本分布。

已知N=36，= 149.5，S =1.93，x1-α=0.95，。

其置信区间为：149.5±1.96×1.93÷√36 2）中心极限定理论证：如果总体变量存在有限的平均数和方差，那么，不论这个总体的分布如何，随着样本容量的增加，样本均值的分布便趋近正态分布。

在现实生活中，一个随机变量服从正态分布未必很多，但是多个随机变量和的分布趋于正态分布则是普遍存在的。

样本均值也是一种随机变量和的分布，因此在样本容量充分大的条件下，样本均值也趋近于正态分布，这为抽样误差的概率估计理论提供了理论基础。

11.某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为100克，现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查，测得每包重量如下：（略）已知食品包重服从正态分布，要求：1）确定该种食品平均重量的95%的置信区间。

2）如果规定食品重量低于100克属于不合格，确定该批食品合格率的95%的置信区间。

12.假设总体服从正态分布，利用下面的数据构建总体均值μ的99%的置信区间。

解： 样本均值样本标准差：尽管总体服从正态分布，但是样本n=25是小样本，且总体标准差未知，应该用T 统计量估计。