七年级数学一元二次方程及其解法（配方法，公式法）人教实验版五
四制
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
一元二次方程及其解法（配方法，公式法）
二. 基础知识：
1. 一元二次方程的概念
2. 降次解一元二次方程
① 用配方法解一元二次方程（配方法解方程的一般步骤应重点掌握）
② 用公式法解一元二次方程（公式的推导方法是应重点掌握）
三. 重点和难点：
1. 重点：一元二次方程的概念和公式法解一元二次方程
2. 难点：配方法解方程
【典型例题】
[例1] ① 下列关于x 的方程
（1）02=++c bx ax
（2）0342=-+x x （3）0432=+-x x （4）0352=+-x x
中，一元二次方程的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 解：选A
根据一元二次方程定义易知（2）（3）不是一元二次方程，而（1）当0=a 时，方程就不是一元二次方程了。
② 下列关于x 的方程
（1）02=++c bx ax （2）0652
=++k k
（3）02
142333=--x x （4）023)3(22=-++x x m 中，是一元二次方程的为。
（只填代号）
解：应填（4）
由（1）可知，（1）不一定为一元二次方程，而（4）中032>+m ，所以应为一元二次方程
[例2] 解方程：1422-=x x
解法一：（配方法）
将方程变形为1422-=-x x
方程两边都除以2，得2122-
=-x x 配方，得22212112+-=+-x x ，即2
1)1(2=-x 解得2
21±=x ∴2211+
=x 2212-=x 解法二：（公式法）
将方程变形为01422
=+-x x
∵2=a ，4-=b ，1=c
∴8816124)4(422=-=⨯⨯--=-ac b ∴4
2242284242±=⨯±=-±-=a ac b b x ∴2211+
=x 2212-=x
[例3] 已知关于x 的方程12)3(-+m x m 01)1(2=--+x m
（1）m 为何值时，它是一元二次方程，并求出此方程的解；
（2）m 为何值时，它是一元一次方程。
解：（1）要使方程为一元二次方程，则必须满足
⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+2
1032m m 解得3=m 当3=m 时，原方程为一元二次方程 此时，方程为01)13(2322=--+x x ∵32=a )13(2-=b 1-=c ∴16)1(324)13(4422=-⨯⨯--=-ac b ∴3
442323224)13(2242±+-=⨯±--=-±-=a ac b b x ∴2131-=x ，6
332+-=x （2）若使原方程为一元二次方程，则应分以下几种情况进行讨论： ①⎩⎨⎧≠-=+010
3m m 解得3-=m ②⎪⎩⎪⎨⎧≠+++=-0
)1(23112m m m 解得2±=m ③⎩⎨⎧≠-=-0
)1(2012m m 解得1-=m
∴ 当3-=m 或2±
或1-时，原方程是一元二次方程
[例4] 关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是0，求a 。
解：∵01)1(22=-++-a x x a 是一元二次方程
∴01≠-a ∴1≠a
把0=x 代入原方程中，得12=a
∴1±=a ∵1≠a ∴1-=a
[例5] 已知一个直角三角形的两直角边的长恰是方程07822
=+-x x 的两个根，求这个直角三角形的斜边长。
解：∵2=a ，8-=b ，7=c
∴85664724)8(422=-=⨯⨯--=-ac b ∴2
242288242±=⨯±=-±-=a ac b b x ∴2241+=x 2
242-=x ∴ 斜边长为34
)24(4)24(2
2=-++
[例6] 已知c 为实数，并且方程032=+-c x x 的一个根的相反数是方程032
=-+c x x 的一个根，求方程032=-+c x x 的根及c 的值。
解：设方程032=+-c x x 的一个根为0x ，则由题意：
⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=+-)2(0)(3)()1(03020020c x x c x x （1）－（2）得0=c
当0=c 时，方程032=-+c x x 化为032=+x x
解得01=x ，32-=x
[例7] 若方程012=++mx x 与方程02
=--m x x 只有一个相同的实数根，求m 的值。
解：设两个方程相同的实数根为0x ，则
01020=++mx x ①0020=--m x x ② ①－②得0)1()1(0=+++m x m
即0)1)(1(0=++x m
∴1-=m 或10-=x
当1-=m 时，两个方程相同且方程无解 ∴1-=m （舍）
当10-=x 时，0)1()1(2=----m ，2=m
[例8] 有一种特殊材料制成的质量为30克的泥块，现将它切成大小两块，将较大泥块放在一架不等臂的天平的左盘中，称得质量为27克；又将较小泥块放在该天平的右盘中，称得质量为8克，若只考虑天平的臂长不等，其他因素忽略不计，请你依据物理学中的杠杆的平衡原理，求出较大泥块和较小泥块的质量。
解：设较大泥块的质量为x 克，则较小泥块的质量为)30(x -克。
若天平左、右臂长分别为acm 和bcm ，由杠杆平衡原理，得
⎩⎨⎧-==)
2)(30(8)1(27x b a b ax 由（1）÷（2）得)30(:278:x x -=
由比例的性质，得278)30(⨯=-x x
整理得0216302
=+-x x
解得181=x ，122=x
由题意18=x 时，1230=-x 12=x 时不合题意舍去
答：较大泥块质量为18克，较小泥块质量为12克。
【模拟试题】
1. 用配方法解方程：01622=+-x x
2. m 为何值时，关于x 的方程m x m x m m 5)1()2(2=+--是一元二次方程？
3. 用适当方法解下列方程： ①02)52(2
12=--x ②03762=-+x x ③0154)53(22=++-x x
【试题答案】 1. 2731+=x ，2732-=x 2. 2-=m
3. ①271=x ，232=x ②311=x ，232-=x ③321=x ，522=x。