一、选择题1．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A 。
12B ．1C ．0D ．不存在解析：选A 。
因为f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ,且x >0。
令f ′(x )>0,得x >1；令f ′(x )<0,得0<x <1。
所以f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值,且f (1)＝12－ln1＝12。
2．若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线,则实数a 的值为( )A ．e －12B ．2e －12C ．e 12D ．2e 12解析：选B 。
依题意,设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0,则有y ′|x ＝x 0＝2x 0,于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝e ，a ＝2e －123．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3ln x 在(1,＋∞)上是增函数,则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞,－26] B 。
⎝⎛⎦⎤－∞，62 C ．[－26,＋∞)D ．[－5,＋∞)解析：选C 。
由题意得f ′(x )＝2x ＋a ＋3x ＝2x 2＋ax ＋3x ≥0在(1,＋∞)上恒成立⇔g (x )＝2x 2＋ax ＋3≥0在(1,＋∞)上恒成立⇔Δ＝a 2－24≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a 4≤1，g （1）≥0⇔－26≤a ≤26或a ≥－4⇔a ≥－26。
4．若函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R )的导函数在区间(1,2)上有零点,则f (x )在下列区间上单调递增的是( )A ．(－2,0)B ．(0,1)C ．(1,＋∞)D ．(－∞,－2)解析：选D 。
由题意知,f ′(x )＝1－bx2,因为函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R )的导函数在区间(1,2)上有零点,令1－bx 2＝0,得b ＝x 2,又x ∈(1,2),所以b ∈(1,4)．令f ′(x )>0,解得x <－b 或x >b ,即f (x )的单调递增区间为(－∞,－b ),(b ,＋∞)． 因为b ∈(1,4),所以(－∞,－2)符合题意．5．已知函数f (x )＝e x －12x 2－mx 有极值点,则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥1B ．m >1C ．0≤m ≤1D ．0<m <1解析：选B 。
因为f (x )＝e x －12x 2－mx ,所以f ′(x )＝e x －x －m ,因为f (x )＝e x －12x 2－mx 有极值点,所以关于x的方程e x －x －m ＝0有实根,且该实根使f ′(x )左右异号,设g (x )＝e x －x ,y ＝m ,而g ′(x )＝e x －1,所以当x <0时,g ′(x )<0；当x >0时,g ′(x )>0,所以函数g (x )＝e x －x 在(－∞,0)上单调递减,在(0,＋∞)上单调递增,所以函数g (x )＝e x －x 的极小值点为0,所以g (0)＝1为g (x )＝e x －x 的最小值,所以实数m 的取值范围是m >1,故选B 。
6．已知f (x )＝ln x －x 4＋34x ,g (x )＝－x 2－2ax ＋4,若对任意的x 1∈(0,2],存在x 2∈[1,2],使得f (x 1)≥g (x 2)成立,则a 的取值范围是( )A 。
⎣⎡⎭⎫54，＋∞B 。
⎣⎡⎭⎫－18，＋∞ C 。
⎣⎡⎦⎤－18，54 D 。
⎝⎛⎦⎤－∞，－54 解析：选A 。
因为f ′(x )＝1x －14－34x 2＝－x 2＋4x －34x 2＝－（x －1）（x －3）4x 2, 易知,当x ∈(0,1)时,f ′(x )<0,当x ∈(1,2]时,f ′(x )>0, 所以f (x )在(0,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增, 故f (x )min ＝f (1)＝12。
对于二次函数g (x )＝－x 2－2ax ＋4,易知该函数开口向下, 所以g (x )在区间[1,2]上的最小值在端点处取得, 即g (x )min ＝min{g (1),g (2)}．要使对任意的x 1∈(0,2],存在x 2∈[1,2],使得f (x 1)≥g (x 2)成立,只需f (x 1)min ≥g (x 2)min , 即12≥g (1)且12≥g (2), 所以12≥－1－2a ＋4且12≥－4－4a ＋4,解得a ≥54。
二、填空题7。
⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝________．解析：⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x e 1＝e 22＋1－12＝e 2＋12。
答案：e 2＋128．(高考全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2,则a ＝________。
解析：y ′＝(ax ＋1＋a )e x ,由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为－2,得y ′|x ＝0＝(ax ＋1＋a )e x |x ＝0＝1＋a ＝－2,所以a ＝－3。
答案：－39．已知函数f (x )＝－x 2＋2ln x ,g (x )＝x ＋ax ,若函数f (x )与g (x )有相同的极值点,则实数a 的值为________．解析：因为f (x )＝－x 2＋2ln x ,所以f ′(x )＝－2x ＋2x ＝－2(x ＋1)(x －1)x (x >0),令f ′(x )＝0,得x ＝1或x ＝－1(舍去),又当0<x <1时,f ′(x )>0；当x >1时,f ′(x )<0,所以x ＝1是函数f (x )的极值点．因为g (x )＝x ＋ax ,所以g ′(x )＝1－a x 2。
又函数f (x )与g (x )＝x ＋ax 有相同极值点,所以x ＝1也是函数g (x )的极值点,所以g ′(1)＝1－a ＝0,解得a ＝1。
经检验,当a ＝1时,函数g (x )取到极小值．答案：1 三、解答题10．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ,讨论g (x )的单调性． 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x , 因为f (x )在x ＝－43处取得极值,所以f ′⎝⎛⎭⎫－43＝0, 即3a ×169＋2×⎝⎛⎭⎫－43＝16a 3－83＝0, 解得a ＝12。
(2)由(1)得g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x, 故g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋2x e x ＋⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x ＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x , 令g ′(x )＝0,解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4。
当x <－4时,g ′(x )<0, 故g (x )为减函数；当－4<x <－1时,g ′(x )>0,故g (x )为增函数；当－1<x <0时,g ′(x )<0,故g (x )为减函数； 当x >0时,g ′(x )>0,故g (x )为增函数．综上知,g (x )在(－∞,－4)和(－1,0)上为减函数,在(－4,－1)和(0,＋∞)上为增函数． 11．已知函数f (x )＝ln xx －1。
(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设m >0,求函数f (x )在区间[m ,2m ]上的最大值． 解：(1)因为函数f (x )的定义域为(0,＋∞),且f ′(x )＝1－ln xx 2, 由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ）>0，x >0得0<x <e ； 由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ）<0，x >0，得x >e 。
所以函数f (x )的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e ,＋∞)．(2)①当⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤e ，m >0,即0<m ≤e2时,(m ,2m )⊆(0,e),函数f (x )在区间[m ,2m ]上单调递增,所以f (x )max ＝f (2m )＝ln2m2m－1；②当m <e<2m ,即e2<m <e 时,(m ,e)⊆(0,e),(e ,2m )⊆(e ,＋∞),函数f (x )在区间(m ,e)上单调递增,在(e ,2m )上单调递减, 所以f (x )max ＝f (e)＝lne e －1＝1e－1；③当m ≥e 时,(m ,2m )⊆(e ,＋∞),函数f (x )在区间[m ,2m ]上单调递减,所以f (x )max ＝f (m )＝ln mm －1。
综上所述,当0<m ≤e 2时,f (x )max ＝ln2m 2m －1；当e 2<m <e 时,f (x )max ＝1e －1；当m ≥e 时,f (x )max ＝ln mm －1。
12．已知常数a ≠0,f (x )＝a ln x ＋2x 。
(1)当a ＝－4时,求f (x )的极值；(2)当f (x )的最小值不小于－a 时,求实数a 的取值范围． 解：(1)由已知得f (x )的定义域为(0,＋∞), f ′(x )＝ax ＋2＝a ＋2x x 。
当a ＝－4时,f ′(x )＝2x －4x。
所以当0<x <2时,f ′(x )<0, 即f (x )单调递减；当x >2时,f ′(x )>0,即f (x )单调递增．所以f (x )只有极小值,且在x ＝2时,f (x )取得极小值f (2)＝4－4ln2。
所以当a ＝－4时,f (x )只有极小值4－4ln2。
(2)因为f ′(x )＝a ＋2xx, 所以当a >0,x ∈(0,＋∞)时,f ′(x )>0,即f (x )在x ∈(0,＋∞)上单调递增,没有最小值； 当a <0时,由f ′(x )>0得,x >－a2,所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞上单调递增； 由f ′(x )<0得,x <－a2,所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－a2上单调递减． 所以当a <0时,f (x )的最小值为极小值,即f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a ln ⎝⎛⎭⎫－a2－a 。
根据题意得f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a ln ⎝⎛⎭⎫－a2－a ≥－a , 即a [ln(－a )－ln2]≥0。