第一章集合与常用逻辑用语解答题专题训练 (17)1.设A=[−1,1],B=[−2,2]，函数f(x)=2x2+mx−1．(1)设不等式f(x)≤0的解集为C，当C⊆(A∩B)时，求实数m的取值范围；(2)若对任意x∈R，都有f(1−x)=f(1+x)成立，试求x∈B时，函数f(x)的值域；(3)设g(x)=2|x−a|−x2−mx(a∈R)，求f(x)+g(x)的最小值．2.已知数列{a n}满足：a1=12,a n+1=n+12na n．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n}前n项和S n；(3)若集合A={n|2−S n⩾n+2n2+nλ}中含有4个元素，求实数λ的取值范围．3.设n≥3,n∈N∗，在集合{1,2,⋅⋅⋅,n}的所有元素个数为2的子集中，把每个子集的较大元素相加，和记为a，较小元素之和记为b．(1)当n=3时，求a,b的值；(2)求证：对任意的n≥3,n∈N∗，ba为定值．4.定义函数f a(x)=4x−(a+1)·2x+a，其中x为自变量，a为常数．(Ⅰ)若函数f a(x)在区间[0,2]上的最小值为−1，求a的值；(Ⅱ)集合A={x|f3(x)≥f a(0)}，B={x|f a(x)+f a(2−x)=f2(2)}，且(∁R A)⋂B≠⌀，求a的取值范围．5.已知数列{x n}：x1，x2，x3，…，x n，…，对于任意正整数m,n(n≠m,m>1)，记满足不等式：x n−x m≥t(n−m)的t构成的集合为T(m)．(1)若给定m=2，数列{x n}满足x n=n2，试求出集合T(2)；(2)如果T(m)(m∈N∗,m>1)均为相同的单元素集合，求证：数列{x n}为等差数列；(3)如果T(m)(m∈N∗,m>1)为单元素集合，那么数列{x n}还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请说明理由．6.设p：“∀x∈R，sinx≤a+2”；q：“f(x)=x2−x−a在区间[−1,1]上有零点”．(1)若p为真命题，求实数a的取值范围；(2)若p∨q为真命题，且p∧q为假命题，求实数a的取值范围．7.已知函数f(x)=x2−2ax+a+2，(1)若f(x)≤0的解集A⊆{x|0≤x≤3}，求实数a的取值范围；(2)若g(x)=f(x)+|x2−1|在区间(0,3)内有两个零点x1，x2(x1<x2)，求实数a的取值范围．8. 若数列{c n }同时满足：①对任意n ∈N +均有c n ⋅c n+2≤c n+12，②存在与n 无关的常数M ，使c n ≤M ，则称数列{c n }是“P 数列”，设{a n }是各项均为正数且公比为q 的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和．(1)已知a 3=4,S 3=28，判断数列{S n }是否为“P 数列”，并说明理由；(2)求证：数列{S n }是“P 数列”的充要条件是0<q <1．9. 已知集合P 的元素个数为3n(n ∈N ∗)且元素均为正整数，若能够将集合P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A ，B ，C ，即P =A ∪B ∪C ，A ∩B =⌀，A ∩C =⌀，B ∩C =⌀，其中A ={a 1,a 2,…,a n }，B ={b 1,b 2,…,b n }，C ={c 1,c 2,…,c n }，且满足c 1<c 2<⋯<c n ，a k +b k =c k ，k =1，2，…，n ，则称集合P 为“完美集合”．(Ⅰ)若集合P ={1,2，3}，Q ={1,2，3，4，5，6}，判断集合P 和集合Q 是否为“完美集合”？并说明理由；(Ⅱ)已知集合P ={1,x ，3，4，5，6}为“完美集合”，求正整数x 的值； (Ⅲ)设集合P ={x|1≤x ≤3n,n ∈N ∗}，证明：集合P 为“完美集合”的一个必要条件是n =4k 或n =4k +1(n ∈N ∗).10. 已知集合A ={x|x+24−x >0},B ={x|x 2−3ax +2a 2<0}．(1)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；(2)若A ∩B =⌀，求实数a 的取值范围．11.已知全集为R，函数f(x)=logπ(x−1)的定义域为集合A，集合B={x|x(x−1)≥2}．(I)求A∪B；(II)若C={x|1−m<x≤m}，C⊆(∁R B)求实数m的取值范围．12.设p:对任意实数x，不等式x2−2x+m>0恒成立;q:方程x2m−t −y2m=1(t>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(1)若p为真命题，求实数m的取值范围;(2)若p是q的充分条件，求实数t的取值范围．13.已知a∈R，命题p：∀x∈[−2,−1]，x2−a≥0，命题q：∃x0∈R,x02+2ax0−(a−2)=0．(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；(2)若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．14. 设n ∈N ∗且n ≥4，集合M ={1,2,3,⋯,n }的所有3个元素的子集记为A 1,A 2,⋯,A C n3． (1)当n =4时，求集合A 1,A 2,⋯,A C n3中所有元素之和S ； (2)记m i 为A i (i =1,2,3,⋯,C n 3)中最小元素与最大元素之和，求∑m i C n 3i=1C n 3的值．15. 若命题p:关于x 的方程x 2−2x +a =0有实根；命题q:函数f(x)=x 3+ax 2+x 在R 上是增函数． (1)若命题p ∧q 是真命题，求实数a 的取值范围．(2)若命题p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，求实数a 的取值范围．16. 命题p ：实数x 满足x 2−4ax +3a 2<0，其中a <0，命题q ：实数x 满足x 2−x −6≤0或x 2+2x −8>0，且 p 是 q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．17. 对于非负整数集合S(非空)，若对任意x ，y ∈S ，或者x +y ∈S ，或者|x −y|∈S ，则称S 为一个好集合，以下记|S|为S 的元素个数．(1)给出所有的元素均小于3的好集合，(给出结论即可)(2)求出所有满足|S|=4的好集合．(同时说明理由)(3)若好集合S 满足|S|=2019，求证：S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍．18. 已知函数f(x)=x 2−4x +a +3．(1)若函数f(x)在区间[−1,1]上存在零点，求实数a 的取值范围；(2)设函数g(x)=bx +5−2b ，当a =0时，若对任意x 1∈[1,4]，总存在x 2∈[1,4]，使得f(x 1)=g(x 2)，求实数b 的取值范围．19. 设n ∈N ∗，对于1,2,3,⋯,n −1,n ，其所有全排列组成的集合为A n ，对于(a 1,a 2,⋯,a n )∈A n ，若恰有两个不同的整数i,j ∈{1,2,⋯,n −1}，使得a i >a i+1，a j >a j+1都成立，则称该排列为“美好排列”.记集合A n 中“美好排列”的个数为f(n)．(1)求f(3)，f(4)的值；(2)求f(n)的表达式(用n 表示)．20. 已知集合A n+k 中含有n +k 个元素，其中1≤k ≤n ，n ∈N ∗，集合A n+k 的含n 个元素的子集的个数为a n+k ，即集合A n+1的含n 个元素的子集的个数为a n+1，集合A n+2的含n 个元素的子集的个数为a n+2，…记S n =∑k n k=1a n+k ．(1)求S 1，S 2；(2)证明：S n =(n +1)C 2n+1n+2．-------- 答案与解析 --------1.答案：解：(1)由A =[−1,1]，B =[−2,2]，知：A ∩B =[−1,1]；且二次函数f(x)的开口向上，f(0)=−1，由题意知不等式f(x)≤0的解集为C ，当C ⊆(A ∩B)时，函数f(x)必有两零点，且两零点均在区间[−1,1]内，故只需：{f (−1)⩾0f (1)⩾0，解得−1≤m ≤1， ∴实数m 的取值范围为[−1,1]；(2)对任意x ∈R ，都有f(1−x)=f(1+x)成立，∴函数f(x)的图象关于直线x =1对称；∴−m4=1，解得m =−4，∴函数f(x)=2(x −1)2−3，x ∈[−2,2]，∴x =−2时，f(x)取最大值15，x =1时，f(x)取最小值−3 ，∴函数f(x)在区间B 上的值域为[−3,15]；(3)令ℎ(x)=f(x)+g(x)，则ℎ(x)=x 2+2|x −a|−1={x 2+2x −2a −1,x ⩾a x 2−2x +2a −1,x <a, ①当a ≤−1时，函数ℎ(x)在区间(−∞,−1)是减函数，(−1,+∞)是增函数，此时ℎ(x)min =ℎ(−1)=−2a −2；②当−1<a <1时，函数ℎ(x)在区间(−∞,a)是减函数，(a,+∞)是增函数，此时ℎ(x)min =ℎ(a)=a 2−1；③当a ⩾1时，在区间(−∞,1)是减函数，(1,+∞)是增函数，此时ℎ(x)min =2a −2；综上：当a ≤−1时，ℎ(x)min =−2a −2；当−1<a <1时，ℎ(x)min =a 2−1；当a ⩾1时，ℎ(x)min =2a −2．解析：本题考查了函数的值域，函数的最值及其几何意义，二次函数的图象与性质，子集与真子集，属于较难题．(1)可先求出A ∩B =[−1,1]，并求出f(0)=−1，从而根据f(x)≤0的解集为C ，而C ⊆(A ∩B)，这样即可判断函数f(x)有两个零点，从而得出{f (−1)⩾0f (1)⩾0，这样便可求出实数m 的取值范围； (2)根据f(1−x)=f(1+x)便可得出f(x)的对称轴为x =1，从而可求出m ，进而得出f(x)，配方即可求出f(x)在[−2,2]上的最大、最小值，即得出其值域；(3)可令ℎ(x)=f(x)+g(x)，并去绝对值号得出ℎ(x)={x 2+2x −2a −1,x ⩾a x 2−2x +2a −1,x <a，从而可看出需讨论a ：a ≤−1，−1<a <1，以及a ≥1，对于每种情况判断ℎ(x)的单调性，根据单调性即可求出每种情况下ℎ(x)的最小值，即求出f(x)+g(x)的最小值．2.答案：解：(1)由题意得，当时，，又也满足上式，故；(2)由(1)可得①∴②①−②，得，;所以S n=2−n+22n(3)由(2)可得，所以，即.令则，，，，，因为，所以，当时，，即．因为集合含有4个元素，所以的解个数为4，因为，。