高中数学解析几何解答题专题训练 (1)一、解答题（本大题共30小题，共360.0分） 1. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为√22，斜率为k 的直线l 过F 1且与椭圆E 相交于A ，B 两点，△ABF 2的周长为8√2． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设线段AB 的中垂线m 交x 轴于N ，在以NA ，NB 为邻边的平行四边形NAMB 中，顶点M 恰好在椭圆E 上，求直线l 的方程．2. 如图，设抛物线方程为x 2=2py(p >0)，M 为直线y =−2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ． (Ⅰ)设线段AB 的中点为N ； (ⅰ)求证：MN 平行于y 轴；(ⅰ)已知当M 点的坐标为(2,−2p)时，|AB|=4√10，求此时抛物线的方程；(Ⅱ)是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线x 2=2py(p >0)上，其中，点C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点).若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a >1)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 的倾斜角为锐角，P 为椭圆的上顶点，且PF 1⊥PF 2． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l与椭圆C交异于点P的两点A，B，且直线PA，PB与直线x+y−2=0分别交于不同两点M、N，当|MN|最小时，求直线l的方程．4.已知椭圆M：x2a +y2b=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点N(√2,√22)．(1)求椭圆M的方程；(2)若斜率为−12的直线l1与椭圆M交于P，Q两点(点P，Q不在坐标轴上)；证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．(3)设直线l2与椭圆M交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求ABC面积的最大值．5.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：x2a +y2b=1(a>b>0)的离心率为√32，A为椭圆E上位于第一象限上的点，B为椭圆E的上顶点，直线AB与x轴相交于点C，|AB|=|AO|，△BOC的面积为√3．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设直线l过椭圆E的右焦点，且与椭圆E相交于M，N两点(M,N在直线OA的同侧)，若∠CAM=∠OAN，求直线l的方程．6. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 短轴两顶点和两焦点构成的四边形为正方形，且周长为4√2，经过F 2与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆C 短轴上的点T(0,t)，满足|TM|=|TN|，求实数t 的取值范围． 7. 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，T 为椭圆上一点，O 为坐标原点，椭圆的离心率为√22，且△TFO 面积的最大值为12． (1)求椭圆的方程；(2)设点A(0,1)，直线l ：y =kx +t(t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM|⋅|ON|=2，求证：直线l 经过定点．8. 已知过点M(0,m)(m >0)的直线l 与抛物线C ：x 2=4y 交于A ，B 两点．(1)分别以A ，B 为切点作抛物线的两条切线PA ，PB ，交点为P ，当m =1时，求点P 的轨迹方程；(2)若1|AM|2+1|BM|2为定值，求m 的值． 9. 已知椭圆x 24+y 25=1的上焦点为F ，曲线C 1上动点M(x,y)(y ≥0)到F 的距离|MF|比点M 到x 轴的距离长1个单位． (1)求曲线C 1的方程；(2)若直线L ：y =kx +t 与曲线C 1相交于A 、B 两点，过A 、B 分别作曲线C 1的切线相交于点P ，直线PA 、PB 分别与x 轴相交于C 、D ，若AB 与y 轴相交于点Q ． ①四边形PCQD 是否为平行四边形？说明理由．②四边形PCQD 能否为矩形？若能，求出点Q 的坐标；若不能，请说明理由．10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是椭圆E ：x 24+y 2=1上的动点，不经过点P 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点．(1)若直线l 经过坐标原点，证明：直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值；(2)若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，直线l 与直线PO 交于点Q ，试判断动点Q 的轨迹与直线PA 的位置关系，并说明理由．11.已知直线y=2p与抛物线C：x2=2py(p>0)交于P，Q两点，且|PQ|=8．(1)求抛物线C的方程；(2)斜率为k(k≠0)的直线l经过C的焦点F，l与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与y为定值，求点E的坐标．轴交于点D，点E在y轴上，|AB||DE|12.在平面直角坐标系xOy中，设m≥1，过点(m,0)的直线l与圆P：x2+y2=1相切，且与抛物线Q：y2=2x相交于A，B两点．(1)当m在区间[1,+∞)上变动时，求AB中点的轨迹；(2)设抛物线焦点为F，求△ABF的周长(用m表示)，并写出m=2时该周长的具体取值．13.如图，抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，过焦点F的直线l抛物线交于A、B两点，点A到x轴的距离等于|AF|−1．(1)求抛物线方程；(2)过F与AB垂直的直线和过B与x轴垂直的直线相交于点M，AM与y轴交于点N，求点N的纵坐标的取值范围．14.如图，设F是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，直线：x=−a2c与x轴交于P点，AB为椭圆的长轴，已知|AB|=8，且|PA|= 2|AF|，过P点作斜率为k直线l与椭圆相交于不同的两点M、N，(1)当k=14时，线段MN的中点为H，过H作HG⊥MN交x轴于点G，求|GF|；(2)求△MNF面积的最大值．15.已知：抛物线C1：y=x2+2，过C1外点P作C1的两条切线，切点分别为A、B．(Ⅰ)若P(2,0)，求两条切线的方程；(Ⅱ)点P是椭圆C2：x24+y2=1上的动点，求△PAB面积的取值范围．16. 如图，O 为坐标原点，椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，|OA|+|OB|=3，△OAB 的面积为1． (1)求C 的方程；(2)若M ，N 是椭圆C 上的两点，且MN//AB ，记直线BM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，证明：k 1⋅k 2为定值．17. 椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2=1，(a >1)，A ，B 为椭圆E 的短轴端点，P 为椭圆E 上除A 、B 外一点，且直线PA 、PB 斜率积为−12，直线l ：x =my +t 与圆O ：x 2+y 2=23相切，且与椭圆E 交于M 、N 两点． (1)求椭圆E 的方程； (2)证明OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=l(a>b>0)，四点P1(1,1)、P2(0,1)、P3(−1,√32)、P4(1,√32)中恰有三点在椭圆C上．(Ⅰ)求C的方程．(Ⅱ)设直线l不经过点P2且与C相交于A、B两点，已知直线P2A与直线P2B的斜率的和为3.试问：直线l是否过定点？如过定点，求出定点坐标；如不过定点，说明理由．19.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的右焦点为F，左顶点为A，下顶点为B，连结BF并延长交椭圆于点P，连结PA，AB.记椭圆的离心率为e．(1)若e=12，AB=√7，求椭圆C的标准方程；(2)若直线PA与PB的斜率之积为16，求e的值．20. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的上顶点M 与左、右焦点F 1，F 2构成一个面积为1的直角三角形．(1)求C 的标准方程；(2)过点M 分别作直线MA ，MB 交C 于A ，B 两点，这两条直线的斜率分别记为k 1，k 2，且k 1+k 2=2，证明直线AB 过定点，并求出定点的坐标．21. 已知A(1,2)为抛物线y 2=2px(p >0)上的一点，E ，F 为抛物线上异于点A 的两点，且直线AE的斜率与直线AF 的斜率互为相反数． (1)求直线EF 的斜率；(2)设直线l 过点M(m,0)并交抛物线于P ，Q 两点，且PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)，直线x =−m 与x 轴交于点N ，试探究MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λNQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是否为定值，若是则求出定值，若不是，说明理由．22. 已知椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)一个焦点和抛物线了y 2=4x 的焦点重合，且过点(1,−32)，椭圆E 的长轴的两端点为A 、B ． (1)求椭圆E 的；(2)点P 为椭圆上异于A ，B 的动点，定直线x =4与直线PA ，PB 分别交于M ，N 两点以MN 为直径的圆是否经过x 轴上的定点？若存在，求定点坐标；若不存在，说明理由．23. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，若点B(0,√3)在椭圆上，且△BF 1F 2为等边三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F 1的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，若点F 2在以MN 为直径的圆外，求直线l 斜率k 的取值范围．24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，其右焦点F 到其右准线的距离为1，离心率为√22，A ，B 分别为椭圆Γ的上、下顶点，过点F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆Γ交于C ，D 两点，与y 轴交于点P ，直线AC 与BD 交于点Q ． (1)求椭圆Γ的标准方程；(2)当CD =85√2时，求直线l 的方程； (3)求证：OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值．25.已知抛物线C1：y2=2px(p>0)的准线与半椭圆C2：x24+y2=1(x≤0)相交于A，B两点，且|AB|=√3．(Ⅰ)求抛物线C1的方程；(Ⅱ)若点P是半椭圆C2上一动点，过点P作抛物线C1的两条切线，切点分别为C，D，求△PCD 面积的取值范围．26.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1经过(2,0)和(0,√2)，过原点的一条直线l交椭圆于A，B两点(A在第一象限)，椭圆C上点D满足AD⊥AB，连直线BD与x轴、y轴分别交于M、N两点，△ABD的重心在直线x=1321的左侧．(1)求椭圆的标准方程；(2)记△AOM、△OMN面积分别为S1、S2，求S1−S2的取值范围．27.如图所示，在直角坐标系xOy中，A，B是抛物线C1：y2=2px(p>0)上两点，M，N是椭圆C2：x2 6+y23=1两点，若AB与MN相交于点E(2,0)，OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−p2．(Ⅰ)求实数p的值及抛物线C，的准线方程．(Ⅱ)设△OMN的面积为S，△OMN、△OAB的重心分别为G，T，当GT平行于x轴时，求|GT|+S2的最大值．28.已知圆C经过坐标原点O和点G(−2,2)，且圆心C在直线x+y−2=0上．(1)求圆C的方程；(2)设PA、PB是圆C的两条切线，其中A、B为切点．①若点P在直线x−y−2=0上运动，求证：直线AB经过定点；②若点P在曲线y=14x2(其中x>4)上运动，记直线PA、PB与x轴的交点分别为M、N，求△PMN 面积的最小值．29.如图，已知点M(1,1)，N(2,1)，Q(4,1)抛物线y2=2px过点M，过点Q的直线与抛物线交于A，B两点，直线AN，BN与抛物线的另一交点分别为C，D，记△ABN，△CDN的面积分别为S1，S2．(1)求抛物线的方程；(2)S1S2是否为定值？并说明理由．30.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点是F1(−1,0)，F2(1,0)，且离心率e=12．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点(0,t)作椭圆C的一条切线l交圆O:x2+y2=4于M，N两点，求△OMN面积的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：解：(1)由△ABF 2的周长为8√2，则有4a =8√2，所以a =2√2，又椭圆E 的离心率e =√22，则c =2，b =2，故椭圆E 的标准方程为：x 28+y 24=1．(2)由题意可知，直线l 的斜率k ≠0，设直线l ：y =k(x +2)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =k(x +2)x 2+2y 2=8可得(1+2k 2)x 2+8k 2x +8k 2−8=0， 显然△>0，x 1+x 2=−8k 21+2k2，x 1x 2=8k 2−81+2k 2，则AB 中点Q(−4k 21+2k 2,2k1+2k 2)，AB 中垂线m 方程为：y −2k1+2k 2=−1k (x +4k 21+2k 2)， 所以N(−2k 21+2k 2,0)，由四边形NAMB 为平行四边形，则NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即(x M +2k 21+2k 2,y M )=(x 1+2k 21+2k 2,y 1)+(x 2+2k 21+2k 2,y 2)，所以x M =x 1+x 2+2k 21+2k 2=−6k 21+2k 2，y M =y 1+y 2=4k1+2k 2 由M(−6k 21+2k 2,4k1+2k 2)在椭圆E 上，则36k 48(1+2k 2)2+16k 24(1+2k 2)2=1， 解得k 4=2，即k =±√24， 故直线l 的方程为y =±√24(x +2)．解析：(1)由△ABF 2的周长为8√2，以及椭圆的离心率求解a ，b 得到椭圆方程．(2)直线l 的斜率k ≠0，设直线l ：y =k(x +2)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =k(x +2)x 2+2y 2=8可得(1+2k 2)x 2+8k 2x +8k 2−8=0，利用韦达定理，求出中点坐标，得到中垂线方程，结合向量关系，推出M 坐标，代入椭圆方程求解即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．2.答案：(Ⅰ)(ⅰ)证明：由题意设A(x 1,x 122p )，B(x 2,x 222p )，x 1<x 2，N(x 3,y 3)，M(x 0,−2p)．由x 2=2py 得y =x22p ，则y′=xp ，所以k MA =x 1p ，k MB=x 2p ．因此直线MA 的方程为y +2p =x 1p(x −x 0)，直线MB 的方程为y +2p =x 2p(x −x 0)．所以x 122p+2p =x 1p (x 1−x 0)，①x 222p +2p =x 2p(x 2−x 0).②由①、②得x 1+x 22=x 1+x 2−x 0，因此x 0=x 1+x 22，即2x 2=x 1+x 2=2x 3．所以MN平行于y轴．(ⅰ)解：由(ⅰ)知，当x0=2时，将其代入①、②并整理得：x12−4x1−4p2=0，x22−4x2−4p2=0，所以x1，x2是方程x2−4x−4p2=0的两根，因此x1+x2=4，x1x2=−4p2，又kAB =x222p−x122px2−x1=x1+x22p=x0p，所以k AB=2p．由弦长公式的|AB|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=√1+4p2√16+16p2．又|AB|=4√10，所以p=1或p=2，因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y．(Ⅱ)解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+x2,y1+y2)，则CD的中点坐标为Q(x1+x2+x32,y1+y2+y32)，设直线AB的方程为y−y1=x0p(x−x1)，由点Q在直线AB上，并注意到点(x1+x22,y1+y22)也在直线AB上，代入得y3=x0p x3．若D(x3,y3)在抛物线上，则x32=2py3=2x0x3，因此x3=0或x3=2x0．即D(0,0)或D(2x0,2x02p)．(1)当x0=0时，则x1+x2=2x0=0，此时，点M(0,−2p)适合题意．(2)当x0≠0，对于D(0,0)，此时C(2x0,x12+x222p )，kCD=x12+x222p2x0=x12+x224px0，又k AB=x0p，AB⊥CD，所以k AB⋅k CD=x0p ⋅x12+x224px0=x12+x224p2=−1，即x12+x22=−4p2，矛盾．对于D(2x0,2x02p )，因为C(2x0,x12+x222p)，此时直线CD平行于y轴，又k AB=x0p≠0，所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，所以x0≠0时，不存在符合题意得M点．综上所述，仅存在一点M(0,−2p)适合题意．解析：(Ⅰ)(ⅰ)设A(x1,x122p )，B(x2,x222p)，x1<x2，N(x3,y3)，M(x0,−2p).化抛物线方程为函数，利用函数的导数求解切线方程，转化推出中点横坐标，判断结果即可．。