大学物 理学
1111-1 简谐振动的旋转矢量表示法
旋转矢量
自Ox轴的原点 v O作一矢量 A 使 ， 它的模等于振动的 v 振幅A 振幅 ，并使矢量A 在 Oxy平面内绕点 O作逆时针方向的 逆时针方向的 匀角速转动， 匀角速转动，其角 速度 ω 与振动频率 相等， 相等，这个矢量就 叫做旋转矢量 叫做旋转矢量. 旋转矢量
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用旋转矢量图画简谐运动的x − t图
第十一章 振 动
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相位 ω t + ϕ
x = A cos( ω t + ϕ )
v = − A ω sin( ω t + ϕ )
相位 (位相 位相) 位相 初相位
以 o 为原 v 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
第十一章 振 动
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ω
t =t
ωt + ϕ
v A
x
o
x = A cos(ωt + ϕ )
以 o 为原 v 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
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x
A A2
a
b
t
tb ∆ϕ
−A
x
o
−A
v v
o A ta A
2
π ∆ϕ = 3
π 3 1 ∆t = T = T 2π 6
第十一章 振 动
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的简谐运动， （2）对于两个同频率的简谐运动，相位 ）对于两个同频率的简谐运动 差表示它们间步调上的差异 步调上的差异（ 差表示它们间步调上的差异（解决振动合成 问题）. 问题）
超前 落后
x
x
t
x
t
o
o
o
t
第十一章 振 动
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例 一质点沿x轴作简谐运动，振幅 轴作简谐运动， A=0.12 m，周期 ，周期T=2 s，当t=0时，质点对平衡 ， 时 位置的位移x0=0.06m.此时刻质点向 正向运动。 位置的位移 此时刻质点向x正向运动。 此时刻质点向 正向运动 试求： 试求： （1）此简谐运动的表达式 ） 解 A = 0.12 m
简谐运动， （1）对同一简谐运动，相位差可以给出 ） 同一简谐运动 两运动状态间变化所需的时间． 两运动状态间变化所需的时间．
x1 = A cos(ωt1 + ϕ )
x2 = A cos(ωt 2 + ϕ )
∆ϕ = (ωt2 +ϕ) −(ωt1 +ϕ)
∆t = t2 −t1 = ∆ϕ
ω
第十一章 振 动
x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) x2 = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
∆ϕ = (ωt + ϕ 2 ) − (ωt + ϕ1 )
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1
第十一章 振 动
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∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1
∆ϕ = 0 同步
∆ϕ = ±π 反相 ∆ϕ为其它
2π ω= = π s −1 T
t = 0， x 0 = 0.06 m
代入 x = A cos( ω t + ϕ )
第十一章 振 动
π ϕ =± 3
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1111-1 简谐振动的旋转矢量表示法 又 v = −ω A sin(ω t + ϕ )
根据题意 v 0 > 0
则 v 0 = −ω A sin(ϕ ) π 则 ϕ=−
第十一章 振 动
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x = A cos( ω t + ϕ )
以 o 为原 v 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
第十一章 振 动
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ω
t=0
v A
o
ϕ
x0
x
x0 = A cos ϕ
Φ (t) = ωt + ϕ
ϕ
t = 0时，Φ (t ) = ϕ
相位的意义: 表征任意时刻（ ） 相位的意义 表征任意时刻（t）物体振动状态 相貌） 物体经一周期的振动， （相貌）. 物体经一周期的振动，相位改变 2π .
第十一章 振 动
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讨论
相位差： 相位差：表示两个相位之差
0 = 0.12 cos(ω t −
π
3
2
)
所以： 所以： ω t −
π
3
= (2 k − 1)
π
, k = 1, 2, L
t=
kπ −
π
6
ω
第十一章 振 动
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大学物 第一次过平衡点时， 第一次过平衡点时，k=1，所以： ，所以：
5π 6 = 5 = 0.83( s ) t= π 6
v = − ω A sin(ω t + ϕ ) = − 0.12π sin(π t −
π
3
)
加速度为： 加速度为：
a = − ω 2 A cos(ω t + ϕ ) = − 0.12π cos(π t −
2
π
3
)
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第十一章 振 动
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分别代入位移、 将t=T/4=0.5s分别代入位移、速度、加 分别代入位移 速度、 速度的公式， 速度的公式，得：
第十一章 振 动
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y
ωt + ϕ
O
v vm
v an
π ωt +ϕ + v 2
vm = Aω
v = − Aω sin(ωt + ϕ)
A
v v
x = A cos(ωt + ϕ )
v a
ω
x
an = Aω
2
2
a = − Aω cos(ωt + ϕ )
第十一章 振 动
A
x/m
− 0.12 −0.06
o
π − 3
0.06
0.12
A
第十一章 振 动
ω
起始时刻
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x = 0.104m v = −0.188m / s 2 a = −1.03m / s
A
− 0.12 −0.06
t 时刻
x/m
0.12
起始时刻
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o
π − 3
0.06
A
第十一章 振 动
ω
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（2）从初始时刻开始第一次通过平衡位 ） 置的时刻. 置的时刻. 通过平衡位置时， 通过平衡位置时，x=0，则由位移公式： ，则由位移公式：
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简谐运动表达式为： 简谐运动表达式为：
x = 0.12 cos(π t −
π
3
)
x/m
− 0.12 −0.06
v 0 > 0, ϕ = −
o
π
3
π − 3
0.06
0.12
A
第十一章 振 动
ω
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质点的位置、速度、 （2）t = T /4 时，质点的位置、速度、加速度 ） 此简谐运动的速度为： 此简谐运动的速度为：