( SI )
12
第九章
物理学
第五版
9-2
旋转矢量
例 一质量为0.01 kg的物体作简谐运动， 其振幅为0.08 m，周期为4 s，起始时刻物体在 x=0.04 m处，向ox轴负方向运动（如图）.试求 （1）t=1.0 s时，物体所处的位置和所 受的力；
v
0.08 0.04
o
第九章
x/m
0.04
1
物理学
第五版
9-2
旋转矢量
t t
A
o

t
x
x A cos(t )
以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
第九章
振 动
2
物理学
第五版
9-2
旋转矢量
x A cos(t )
以 o 为原 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
x2 Acos( t2 )

第九章 振 动
6
物理学
第五版
9-2
旋转矢量
x
A A2
a
b
tb
t
o
A
v
A
x o A ta A
2
π 3
π3 1 t T T 2π 6
第九章
振 动
7
物理学
第五版
9-2
旋转矢量
（2）对于两个同频率的简谐运动，相位 差表示它们间步调上的差异（解决振动合成 问题）.
1 由t 0, x 1得： cos 2 3
3
第九章 振 动
10
物理学
第五版
9-2
旋转矢量
x 2 cos( 4t )


3
dx 由v A sin( t ) t 0 A sin 0 dt
得：
x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )
(t 2 ) (t 1 )
2 1
第九章
振 动
8
物理学
第五版
9-2
旋转矢量
2 1
0 同步
π 反相 为其它
超前
落后
x
0.08
振 动
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物理学
第五版
9-2
旋转矢量
法二
t
时刻

t
π3 π3
起始时刻
0.08 0.04
o
x/m
0.08
0.04
π π 2 1 rad s t 0.667 s t 3 2 3
第九章 振 动
18

x 0.02 cos( 4t ) 3 3

( SI )
第九章
振 动
11
物理学
第五版
9-2
旋转矢量
解法2:用矢量图法求解 作半径为2cm的圆,
A
1 O 2
由初始条件得,初始
时刻旋转矢量端点 位于图中B处,故初 相为

B
x 0.02 cos(4t
3

3
)
振 动
0.08 0.04
o
0.04
振 动
0.08
14
第九章
物理学
第五版
9-2
旋转矢量
π 3 π π x 0.08 cos( t ) 2 3 t 1.0 s, x, F 可求（1） t 1.0 s 代入上式得 x 0.069 m
F kx m 2 x 1.70 10 3 N
x
x
o
t
o
t
o
t
第九章
振 动
9
物理学
第五版
9-2
旋转矢量
例
一质点作简谐振动， 4rad / s ,
振幅A=2cm. 当t=0时,质点位于x=1cm处,并 且向x轴正方向运动,求振动表达式. 解法1 用解析法求解
设x A cos(t ) 2 cos(4t ) (cm)
0.08
振 动
16
物理学
第五版
9-2
旋转矢量
π π π π x 0.08 cos( t ) 0.04 0.08 cos( t ) 2 3 2 3 1 π arccos( ) 2 2 3 t 0.667 s π2 3
v
0.08 0.04
x/m
o
第九章
0.04
振 动
0.08
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物理学
第五版
9-2
旋转矢量
已知 m 1.0 s, x, F t 0, x 0.04 m, v0 0 求（1） 2 π π 1 解 A 0.08 m s T 2 t 0，x 0.04 m π 代入 x A cos( t ) 3 π v0 0 A 3 π x/m 3
第九章
振 动
3
物理学
第五版
9-2
旋转矢量
y
t
O
vm
an
π t 2
vm A
v A cos(t )
A
x A cos(t )
a
v

x
an A
2
a A 2 cos( t )
第九章
振 动
4
物理学
第五版
m 0.01 kg
0.08 0.04
v
o
第九章
x/m
0.04
振 动
0.08
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物理学
第五版
9-2
旋转矢量
（2）由起始位置运动到x = -0.04 m处所需 要的最短时间.
法一 设由起始位置运动到x= -0.04 m处所 需要的最短时间为t
v
0.08 0.04
x/m
o
第九章
0.04
物理学
第五版
9-2
旋转矢量
旋转矢量
自Ox轴的原点 O作一矢量 A，使 它的模等于振动的 振幅A，并使矢量 A A 在 Oxy平面内绕点 t 0 O作逆时针方向的 o x0 x 匀角速转动，其角 x0 A cos 速度 与振动频率 相等，这个矢量就 叫做旋转矢量.
第九章 振 动
9-2
旋转矢量
用旋转矢量图画简谐运动的x t图
第九章
振 动
5
物理学
第五版
9-2
旋转矢量
讨论

相位差：表示两个相位之差
（1）对同一简谐运动，相位差可以给出 两运动状态间变化所需的时间．
x1 Acos( t1 )
(t2 ) (t1 )
t t 2 t1