π
3 2 5π = 6
+
π
O
x 第一次回到平衡 位置时旋转矢量
5π ∆ϕ = 6 t=
ω
π
5 = 0.83 s = 6
的物体作简谐运动， 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，其振 幅为 0.08m ，周期为 4s ，起始时刻物体在 x = 0.04m 轴负方向运动（如图） 处，向 Ox 轴负方向运动（如图）.试求 例4 （1 ） t 物体所处的位置和所受的力； = 1.0s 时，物体所处的位置和所受的力；
1 cos( t + ) = − 2 3 2
π π
π
解法二
π 2 π −1 ωt = ω = s t = s = 0.667s 3 3 2
t
ω
时刻
ωtπ 3 π 3
o
0.04
起始时刻
x/m
0.08
− 0.08 − 0.04
x = ( 0.08 m ) cos[(
2
s )t +
π Q v0 < 0 ∴ ϕ = 3
− 0.08 − 0.04
A
π 3
ω
x/m
0.08 0.04
3
]
o
m = 0.01kg
π −1 π x = ( 0 . 08 m ) cos[( s ) t + ] 2 3
v
o
0.04 0.08
x/m
− 0.08 − 0.04
o
0 .08
解法一 设由起始位置运动到 x = −0.04m 处所 需要的最短时间为 t
π −1 π − 0.04m = (0.08m) cos[( s )t + ] 2 3
v
− 0 .08 − 0 .04
x/m
0 .04 0 .08
o
π
2π 4π 或 2 3 3 3 又因为第一次到达 - 0.04m处时，v < 0 πt π 即v = − Aω sin( + ) < 0 2 3 2 πt π 2π t= s 所以 + = 3 2 3 3 t+ =
ϕ0
O
x = 0.06m x t=0时旋转矢量 时旋转矢量
5π π ϕ0 = 或 − 3 3
简谐振动表达式
2π 2π = = π s−1 ω= T 2
x = 0.12cos(π t − ) m 3
π
（2）与解析法同 ） （3） ） x = -0.06m x = -0.06m时 时 旋转矢量
∆ϕ
∆ϕ =
π
3π π t2 − = 3 2
π
t2 = 1.83s
因此从x 处第一次回到平衡位置的时间： 因此从 = -0.06m处第一次回到平衡位置的时间： 处第一次回到平衡位置的时间
∆t = t2 − t1 = 0.83s
解法二(旋转矢量法） 解法二 (旋转矢量法 ） : （1）由初始条件 t = 0, x=0.06m,v0>0可作出旋转矢 ） 可作出旋转矢 量图
简谐振动的旋转矢量图示法 §3.2 简谐振动的旋转矢量图示法
旋转矢量: 旋转矢量:一长度等 r 于振幅A 于振幅 的矢量 A 在纸 平面内绕O点沿逆时针方 点沿逆时针 平面内绕 点沿逆时针方 向旋转， 向旋转，其角速度大小 与谐振动的角频率相等， 与谐振动的角频率相等， 这个矢量称为旋转矢量。 这个矢量称为旋转矢量。 M
3π 设物体在t 时刻第一次回到平衡位置， 设物体在 2时刻第一次回到平衡位置，相位是 2
1 π 2π 4π π t1 − = 或 cos(π t1 − ) = − 3 3 3 3 2 π π 2π Qv0 = −ω Asin(π t1 − ) < 0 ∴π t1 − = 3 3 3 t1 = 1s
v
− 0.08 − 0.04
解
x/m
0.04
0.08
o
A = 0.08m
2π π −1 ω= = s T 2
A = 0.08m
t = 0, x = 0.04m
= A cos( ω t + ϕ ) π ϕ =± 0.04m = (0.08m) cos ϕ π −1 π 3
代入 x
2π π −1 ω= = s T 2
x
用旋转矢量图画简谐运动的
x−t
图
T = 2π ω （旋转矢量旋转一周所需的时间） 旋转矢量旋转一周所需的时间）
说明： 说明： 1、旋转矢量的方向: 逆时针方向 、旋转矢量的方向: 矢量的方向 r 2、旋转矢量 A和谐振动 x = Acos(ωt + φ0 ) 、旋转矢量 的对应关系 r 振幅A 振幅 A的长度 r 角频率ω 角频率 A旋转的角速度 r 振动相位ωt+φ0 振动相位 A 与参考方向x 的夹角
t = 1.0s
代入上式得
2
x = −0.069m
F = −kx = −mω x
π −1 2 = − (0.01kg )( s ) ( −0.069 m )= 1.70 ×10−3 N 2
（2）由起始位置运动到 的最短时间. 的最短时间.
x = −0.04m 处所需要
x/m
0 .04
v
− 0 .08 − 0 .04
r A
ωt + φ0
φ0
ω
t t=0 P x
O
x
M 点在 x 轴上投影点(P点)的运动规律为： 轴上投影点( 点 的运动规律为 规律为：
x = Acos(ωt +φ0 )
r A
ωt + φ0
φ0
M t
ω
t=0 P x
O
x
x = A cos( ω t + ϕ )
v 矢量 A 的
端点在 轴上的投 影点的运 动为简谐 运动. 运动. 旋转
解法一(解析法） 解法一(解析法）: （1）取平衡位置为坐标原点,简谐振动方程写为 ）取平衡位置为坐标原点,
x = Acos(ωt + φ0 ) 2π 2π −1 由条件 T=2s可得 ω = 可得 = =π s T 2
由初始条件 t = 0, x=0.06m可得 可得
0.12cosφ0 = 0.06 即 cosφ0 = 0.5
3、两个谐振动的相位差 、
x1 = A cos(ωt +φ1 ) 1 x2 = A2 cos(ωt + φ2 )
相位差为 ∆φ = (ωt + φ ) − (ωt + φ ) = φ −φ 2 1 2 1 采用旋转矢量表示为： 采用旋转矢量表示为：
r A 2
φ2
O
∆φ r A 1 φ1
x
轴振动， 例1、两个同频率的谐振动，它们都沿 轴振动，且振 、两个同频率的谐振动，它们都沿x轴振动 幅相等， 时质点1在 处向左运动,另一质点 幅相等，当t =0时质点 在x=A/2处向左运动 另一质点 时质点 处向左运动 2在x=-A/2处向右运动，试用旋转矢量法求两质点的 处向右运动， 在 处向右运动 相位差。 相位差。 解：
π
π dx = −0.12π sin(π t − ) m/s v= 3 dt π dv 2 2 = −0.12π cos(π t − ) m/s a= 3 dt
3
在t =T/4=0.5s时，可得 时
x = 0.12cos(π × 0.5 − ) = 0.104 m 3 π v = −0.12×π sin(π × 0.5 − ) = −0.18 m/s 3 π 2 a = −0.12×π cos(π × 0.5 − ) = −1.03 m/s2 3
∴φ0 =
π
3
或−
π
3
由于t=0时质点向 轴正向运动可知 由于 时质点向x轴正向运动可知 时质点向
v0 = −ω Asinφ0 > 0 sinφ0 < 0
简谐振动表达式
∴φ0 = −
πቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
x = 0.12cos(π t − ) m 3
π
因为
（2）由简谐振动的运动方程 x = 0.12cos(π t − ) m ） 可得
3 4π ϕ2 = 3
ϕ1 =
π
ϕ2
O
ϕ1
A 2 A
A − 2
x
4π π ∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 = − =π 3 3
轴作简谐振动， 例 2、一物体沿 轴作简谐振动 ， 振幅 、 一物体沿x轴作简谐振动 振幅A=0.12m,周期 周期 T=2s。当 t=0时,物体的位移 物体的位移x=0.06m,且向 轴正向运 且向x轴正向运 。 时 物体的位移 且向 简谐振动表达式; 动。求: (1)简谐振动表达式 简谐振动表达式 (2) t=T/4时物体的位置、速度和加速度； 时物体的位置、 时物体的位置 速度和加速度； (3)物体从 =-0.06m向x轴负方向运动， 第一次回到 物体从x 轴负方向运动， 物体从 向 轴负方向运动 平衡位置所需时间。 平衡位置所需时间。
π
在t =T/4=0.5s时，可得 时
x 可得 = 0.12cos(π × 0.5 −
π
3
) = 0.104 m
v = −0.12×π sin(π × 0.5 − ) = −0.18 m/s 3 π 2 2 a = −0.12×π cos(π × 0.5 − ) = −1.03 m/s 3
π
（3） 当x = -0.06m时，该时刻设为 1,得 ） 时 该时刻设为t 得