l
o
A A cos
cos 1

A
y

x
A
o
x o
A
t

第五章 机械振动
4.初始条件 t0 x0 0 v0 0
5 – 2
旋转矢量
x
o
物理学教程 （第二版）
l
0 A cos cos 0

y
x
A
/ 2 , 3 / 2
oA
3 2
5 – 2
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
旋转矢量法
2π T
当

t 0
时
A

以 o为 原点旋转矢
量 A的端点
在
o
x0 A cos
第五章 机械振动
x0
x
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.
5 – 2
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
2π T
A
t t

时
以 o为 原点旋转矢
x1 A1 cos(t 1 )
x2 A2 cos(t 2 )
2 1
为其它
(t 2 ) (t 1 )
0 同步
π 反相
超前
落后
x
x
x
o
t
第五章 机械振动
o
t
o
t
5 – 2
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
例1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹 1 簧的劲度系数 k 0.72N m ，物体的质量 m 20g .
（1）把物体从平衡位置向右拉到 x 0.05 m 处停 下后再释放，求简谐运动方程； A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的 2 速度； （3）如果物体在 x 0.05 m 处时速度不等于零， 而是具有向右的初速度 v0 0.30m s1 ，求其运动方程.
2π π 1 s T 2
第五章 机械振动
5 – 2
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
A 0.08 m
t 0, x 0.04m
π v0 0 3
0.08 0.04
2π π 1 s T 2
代入 x
0.04 0.08cos
A cos(t ) π 3
A
π 3

x/m
0.08 π ) 3
0.04 π x 0.08 cos( t 2
o
第五章 机械振动
5 – 2
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
m 0.01kg
0.08 0.04
v
o
0.04 0.08
x/m
π π x 0.08 cos( t ) 2 3
t 1.0s 代入上式得
x A cos(t )
6.0s 1
A x
2 0
v

2 0 2
o
0.0707m
π 4
x
A＇
由旋转矢量图可知 π 4
π x A cos(t ) 0.0707 cos( 6.0t ) 4
第五章 机械振动
5 – 2
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
t
量 A的端点
o
x
x0
x
在
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.
x A cos(t )
第五章 机械振动
5 – 2
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
x A cos(t )
矢量 A的
端点在 轴上的投 影点的运 动为简谐 运动.
第五章 机械振动
旋转
x5 – 2Fra bibliotekAo
v A sin t
A 2
x
0.26m s
第五章 机械振动
1
（负号表示速度沿 Ox 轴负方向）
5 – 2
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
（3）如果物体在 x 0.05 m 处时速度不等于零， 而是具有向右的初速度 v0 0.30m s1 ，求其运动方程. 解
旋转矢量
x
o
物理学教程 （第二版）
l

A
y

2
A
x
/ 2 , 3 / 2
o
x o
t
v0 A sin 0, sin 0 取 / 2
第五章 机械振动
3.初始条件
t0 x0 A v0 0
5 – 2
旋转矢量
x
A
物理学教程 （第二版）
x o
t
v0 A sin 0, sin 0 取 3 / 2
第五章 机械振动
5 – 2
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
讨论
相位差：表示两个相位之差 .
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状 态间变化所需的时间. (t 2 ) (t1 )
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
用旋转矢量表示简谐运动初相 1.初始条件 x t0 o A x0 A v0 0

l
A A cos
cos 1
第五章 机械振动

A
o
y
x
A
0
x
o
t
2.初始条件 t0 x0 0 v0 0 0 A cos cos 0
5 – 2
2
x 0.069 m
F kx m x 1.70 103 N
第五章 机械振动
5 – 2
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
（2）由起始位置运动到 x 0.04 m 处所需要 的最短时间.
v
0.08 0.04
x/m
0.04 0.08
o
法一 设由起始位置运动到 x 0.04 m 处所 需要的最短时间为 t
第五章 机械振动
o
A
x
5 – 2
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的 2 速度；
解
x A cos(t ) A cos(t )
A
x 1 cos( t ) A 2 π 5π t 或 3 3 π 由旋转矢量图可知 t 3
π π 0.04 0.08 cos( t ) 2 3
t 0.667 s
第五章 机械振动
5 – 2 解法二
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
t
时刻

π 3
t
o
起始时刻
π 3
0.04 0.08
x/m
0.08 0.04
π t 3
第五章 机械振动
π 1 s 2
t 0.667 s
x/m
o
第五章 机械振动
0.05
5 – 2 解 （1）
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
x A cos(t )
1
k 0.72N m m 0.02kg
6.0s
1
A 0.05 m
由旋转矢量图可知
0
x A cos(t )
0.05 cos 6.0t m
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
y vm
t
0
an
π t 2
A
vm A
v a

an A
2
x
x A cos(t )
π v A cos( t ) 2
a A cos(t )
2
第五章 机械振动
5 – 2
例2 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，其振 幅为 0.08 m ，周期为 4s ，起始时刻物体在 x 0.04 m 处，向 Ox 轴负方向运动（如图）.试求 （1） t
1.0s
时，物体所处的位置和所受的力；
v
0.08 0.04
x/m
0.04 0.08
o
解
A 0.08 m
x A cos(t1 ) x A cos(t2 )
t t 2 t1

x
A
A2
a
b
π 3
Ab

o
A
v
t
A
0 A


x
π 3 1 t T T 2π 6
2
Aa A
第五章 机械振动
5 – 2
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它 们间步调上的差异.（解决振动合成问题）