数据的收集与整理◆【课前热身】1.一组数据4，5，6，7，7，8的中位数和众数分别是（）A．7，7 B．7，6.5 C．5.5，7 D．6.5，72.我市统计局发布的统计公报显示，2004年到，我市GDP增长率分别为9.6%、10.2%、10.4%、10.6%、10.3%. 经济学家评论说，这5年的年度GDP增长率相当平稳，从统计学的角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据的比较小.A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差3.在一次青年歌手大奖赛上，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5， 9.4， 9.6， 9.9，9.3， 9.7，9.0，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数是（）A．9.2 B．9.3 C．9.4 D．9.54.若样本数据1，2，3，2的平均数是a，中位数是b，众数是c，则数据a，b，c的标准差是_______．【参考答案】1. D2. D3. D4.0◆【考点聚焦】〖知识点〗平均数、方差、标准差、方差的简化公式〖大纲要求〗了解样本方差、总体方差、样本标准差的意义，理解加权平均数的概念，掌握它的计算公式，会计算样本方差和样本标准差，掌握整理数据的步骤和方法.◆【备考兵法】1．方差的定义在一组数据x1，x2，…，x n中，各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数，•叫做这组数据的方差．通常用“S2”表示，即S2=1n[（x1－x）2+（x2－x）2+…+（x n－x）2]．2．方差的计算（1）基本公式 S 2=1n[（x 1－x ）2+（x 2－x ）2+…+（x n －x ）2] （2）简化计算公式（Ⅰ） S 2=1n [（x 12+x 22+…+x n 2）－n x 2]，也可写成S 2=1n（x 12+x 22+…+x n 2）－x 2，此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方． （3）简化计算公式（Ⅱ） S 2=1n[（x`12+x`22+…+x`n 2）－nx x `2]． 当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a ，得到一组数据x`1=x 1－a ，x`2=x 2－a ，…x`n =x n －a ，•那么S 2=1n [（x`12+x`22+…+x`n 2）－n x `2]，也可写成S 2=1n（x`12+x`22+…+x`n 2）－x `2．记忆方法是：•方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方． 3．标准差的定义和计算方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“S”表示，即 S=2S =222121[()()()n x x x x x x n-+-++-4．方差和标准差的意义方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的权是这两组数据的个数相等、平均数相等或比较接近时的情况． 方差较大的数据波动较大，方差较小的数据波动较小． 〖考查重点与常见题型〗1．考查平均数的求法，有关习题常出现在填空题或选择题中，如：(1)已知一组数据为3，12，4，x ，9，5，6，7，8的平均数为7，则x ＝ (2)某校篮球代表队中，5名队员的身高如下（单位：厘米）：185，178，184，183，180，则这些队员的平均身高为（ ） （A ）183 （B ）182 （C ）181 （D ）1802．考查样本方差、标准差的计算，有关试题常出现在选择题或填空题中，如：（1）数据90，91，92，93的标准差是（ ）（A ）2 （B ）54 （C ）54 （D ）52 （2）甲、乙两人各射靶5次，已知甲所中环数是8、7、9、7、9，乙所中的环数的平均数x2＝8，方差S2乙＝0.4，那么，对甲、乙的射击成绩的正确判断是（）（A）甲的射击成绩较稳定（B）乙的射击成绩较稳定（C）甲、乙的射击成绩同样稳定（D）甲、乙的射击成绩无法比较◆【考点链接】1．平均数的计算公式___________________________．2. 加权平均数公式_____________________________．3. 中位数是___________________________，众数是__________________________．4．极差是__________________，方差的计算公式_____________________________．标准差的计算公式：_________________________．◆【典例精析】例1甲、乙两个学习小组各4名学生的数学测验成绩如下（•单位：分）甲组：86 82 87 85 乙组：85 81 85 89 （1）分别计算这两组数据的平均数；（2）分别计算这两组数据的方差；（3）哪个学习小组学生的成绩比较整齐？【分析】应用平均数计算公式和方差的计算公式求平均数和方差．【答案】（1）x甲=14（6+2+7+5）+80=85，x乙=14（5+1+5+9）+80=85．（2）S甲2=14[（86－85）2+（82－85）2+（87－85）2+（85－85）2]=3.5，S乙2=14[（85－85）2+（81－85）2+（85－85）2+（89－85）2]=8．（3）∵S乙2>S甲2，∴甲组学习成绩较稳定．【点评】方差是反映一组数据波动大小的量．例2在“3．15”消费者权益日的活动中，对甲、•乙两家商场售后服务的满意度进行了抽查．如图反映了被抽查用户对两家商场售后服务的满意程度（以下称：用户满意度），分为很不满意，不满意，较满意，很满意四个等级，并依次为1分，2分，3分，4分．（1）请问：甲商场的用户满意度分数的众数为_____分；乙商品的用户满意度分数的众数为_______分．（2）分别求出甲、乙两商场的用户满意度分数的平均分．（精确到0.01）（3）请你根据所学统计知识，判断哪家商场的用户满意度较高，并简要说明理由．【分析】牢记平均数的计算公式，进而求解.【答案】（1）3 3（2）甲商场抽查用户数为：500+1000+2000+1000=4500（户），乙商场抽查用户数为：100+900+2200+1300=4500（户）．所以甲商场满意度分数的平均值=50011000220003100044500⨯+⨯+⨯+⨯≈2.78（分）．乙商场满意度分数的平均值=1001900222003130044500⨯+⨯+⨯+⨯≈3.04（分）答：甲，乙两商场用户满意度分数的平均值分别为2.78分，3.04分．（3）因为乙商场用户满意度分数的平均值较高（或较满意和很满意的人数较多），所以乙商场的用户满意度较多．◆【迎考精练】一、选择题1.（吉林省）某校七年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（）A．中位数B．众数C．平均数D．极差2.(四川内江)今年我国发现的首例甲型H1N1流感确诊病例在成都某医院隔离观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解这位病人7天体温的（）A．众数 B．方差 C．平均数 D．频数3.（湖北仙桃）为了参加市中学生篮球运动会，一支校篮球队准备购买10双运动鞋，各种尺码的统计如下表所示，则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（）．A.25.6 26B.26 25.5C.26 26D.25.5 25.54.（甘肃白银）有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前10位同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学成绩的（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差5.(湖北鄂州)有一组数据如下：3、a、4、6、7，它们的平均数是5，那么这组数据的方差是（）A.10B.10C.2D.26.（湖北孝感）某一段时间，小芳测得连续五天的日最低气温后，整理得出下表（有两个数据被遮盖）．日期一二三四五方差平均气温最低气温1℃－1℃2℃0℃■■1℃被遮盖的两个数据依次是（）A．3℃，2 B．3℃，65C．2℃，2 D．2℃，857.（浙江嘉兴）已知数据：2，1，3，5，6，5，则这组数据的众数和极差分别（）A．5和7 B．6和7 C．5和3 D．6和38.（天津市）为参加“天津市初中毕业生升学体育考试”，小刚同学进行了刻苦的练习，在投掷实心球时，测得5次投掷的成绩（单位：m）为：8，8.5，9，8.5，9.2．这组数据的众数、中位数依次是（ ）A ．8.5，8.5B ．8.5，9C ．8.5，8.75D ．8.64，９9.(浙江湖州)某商场用加权平均数来确定什锦糖的单价，由单价为15元/千克的甲种糖果10千克，单价为12元/千克的乙种糖果20千克，单价为10元/千克的丙 种糖果30千克混合成的什锦糖果的单价应定为（ ）A ．11元/千克B ．11.5元/千克C ．12元/千克D ．12.5元/千克 二、填空题1.（山东滨州）数据1、5、6、5、6、5、6、6的众数是 ，中位数是 ，方差是 ．2.（浙江杭州）给出一组数据：23，22，25，23，27，25，23，则这组数据的中位数是___________；方差（精确到0.1）是_____________．3.（浙江台州）随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：13=甲x ，13=乙x ，5.72=甲S ，6.212=乙S ，则小麦长势比较整齐的试验田是(填“甲”或“乙”)．4.（山东济南）“五一”期间，我市某街道办事处举行了“迎全运，促和谐”中青年篮球友谊赛．获得男子篮球冠军球队的五名主力队员的身高如下表：（单位：厘米）号码 4 7 9 10 23 身高178180182181179则该队主力队员身高的方差是 厘米2．5.（湖南株洲）在一次体检中，测得某小组5名同学的身高分别是170、162、155、160、168（单位：厘米），则这组数据的极差是 厘米．三、解答题1.（浙江宁波）宁波市初中毕业生升学体育集中测试项目包括体能（耐力）类项目和速度（跳跃、力量、技能）类项目．体能类项目从游泳和中长跑中任选一项，速度类项目从立定跳远、50米跑等6项中任选一项．某校九年级共有200名女生在速度类项目中选择了立定跳远，现从这200名女生中随机抽取10名女生进行测试，下面是她们测试结果的条形统计图．（另附：九年级女生立定跳远的计分标准）（1）求这10名女生在本次测试中，立定跳远距离．．的极差和中位数，立定跳远得分．．的众数和平均数．（2）请你估计该校选择立定跳远的200名女生中得满分的人数．2.（内蒙古包头）某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：（1）如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；（2）根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由．10名女生立定跳远距离条形统计图 女生序号九年级女生立定跳远计分标准 （注：不到上限，则按下限计分，满分为10分）3.（山东济宁）作为一项惠农强农应对当前国际金融危机、拉动国内消费需求的重要措施，“家电下乡”工作已经国务院批准从12月1日起在我市实施．我市某家电公司营销点自去年12月份至今年5月份销售两种不同品牌冰箱的数量如下图：（1）完成下表：（2）请你依据折线图的变化趋势，对营销点今后的进货情况提出建议．4.（湖南衡阳）甲、乙两人在相同的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如图7所示．（1）请你根据图中的数据填写下表：1 2 3 4 5（次）甲乙甲品牌乙品牌姓名平均数（环）众数（环）方差甲 6乙 6 2.8 （2）从平均数和方差相结合看，分析谁的成绩好一些．【参考答案】选择题1. A2. B3. D4. B5. C6. A7. A8. A9. B填空题1.6，5.5，2.52.23；2.63.甲4.25.15解答题1.解：（1）立定跳远距离的极差20517431(cm)=-=．立定跳远距离的中位数199197198(cm)2+==．根据计分标准，这10名女生的跳远距离得分分值分别是：7，9，10，10，10，8，10，10，9．所以立定跳远得分的众数是10（分），立定跳远得分的平均数是9.3（分）．（2）因为10名女生中有6名得满分，所以估计200名女生中得满分的人数是6 20012010⨯=（人）．2.解：（1）甲的平均成绩为：(857064)373++÷=，乙的平均成绩为：(737172)372++÷=，丙的平均成绩为：(736584)374++÷=，∴候选人丙将被录用．（2）甲的测试成绩为：(855703642)(532)76.3⨯+⨯+⨯÷++=，乙的测试成绩为：(735713722)(532)72.2⨯+⨯+⨯÷++=，丙的测试成绩为：(735653842)(532)72.8⨯+⨯+⨯÷++=，∴候选人甲将被录用．3.解：（1）计算平均数、方差如下表：（2）建议如下：从折线图来看，甲品牌冰箱的月销售量呈上升趋势，进货时可多进甲品牌冰箱．4.（1）见表（2）从平均数和方差相结合看，分析谁的成绩好些．解：甲、乙两人射靶成绩的平均数都是6，但甲比乙的方差要小，说明甲的成绩较为稳定，所以甲的成绩比乙的成绩要好些．。