2．如图，在平面直角坐标系中,B二次函数y=ax2+(a≠0)的图象CB C（代数与几何综合题代数与几何综合题从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也融入了开放性、探究性等问题，如探究条件、探究结论、探究存在性等。

经常考察的题目类型主要有坐标系中的几何问题（简称坐标几何问题），以及图形运动过程中求函数解析式问题等。

解决代数与几何综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于联想和转化，将以上得到的显性条件进行恰当地组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的是，恰当地使用分析综合法及方程与函数的思想、转化思想、数行结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题。

第一类：与反比例函数相关1．（09北京）如图，点C为⊙O直径AB上一点，过点C的直线交⊙O于点D、E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G．当点C在AB上运动时，设AF=x，DE=y，下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A2ma经过正方形ABOC的三个顶点A、、，则m的值为．3．09延庆）阅读理解：对于任意正实数a，b，(a-b)2≥0，∴a-2ab+b≥0，∴a+b≥2ab，只有当a=b时，等号成立．D（2） 探索应用：已知 A (-3， ， B (0，- 4) ，点 P 为双曲线 y = ( x > 0) 上的任意一点， 与直线 y = x 相交A 点左侧）是双曲线 y = 上的动点．过点B 作 D ON 轴交双曲线 y = 于点 E ，交 BD 于点 C ．C E N和 y = 在平面直角坐标系 xOy 第一象限中的图 （ 的图象上，AB ∥y 轴，与 y = 的图象交于点 B ，AC 、BD 、 y = 的图象交于点 C 、D .结论：在 a + b ≥ 2 ab （ a ，b 均为正实数）中，若 a b 为定值 p ，则 a + b ≥ 2 p ，只有当 a = b 时， a + b 有最小值 2 p ．根据上述内容，回答下列问题：（1） 若 m > 0 ，只有当 m =时， m +1m有最小值 ．120)x过点 P 作 PC ⊥ x 轴于点 C ， PD ⊥ y 轴于 D ．求四边形 ABCD 面积的最小值，并说明此时 yDP四边形 ABCD 的形状．A -3O C x-4 B4．（08 南通）已知双曲线 y = k 1 x 4 （第 3 题） y于 A 、B 两点．第一象限上的点 M （m ，n ）（在kx BD ∥y 轴交 x 轴于点 D ．过 （0，－n ）作 NC ∥x · ·M A xk Bx（1）若点 D 坐标是（－8，0），求 A 、B 两点坐标及 k 的值． （第 4 题）（2）若 B 是 CD 的中点，四边形 OBCE 的面积为 4，求直线 CM 的解析式．（3）设直线 AM 、BM 分别与 y 轴相交于 P 、Q 两点，且 MA =pMP ，MB =qMQ ，求 p －q 的值．5． 09.5 西城）已知：反比例函数 y = 28 x x象如图所示，点 A 在 y =与 x 轴平行，分别与 y = 8 2x x2 8 x x（1）若点 A 的横坐标为 2，求梯形 ACBD 的对角线的交点 F 的坐标； （2）若点 A 的横坐标为 △m ，比较 OBC 与△ABC 的面积的大小； （△3）若 ABC 与以 A 、B 、D 为顶点的三角形相似，请直接写出点 A 的坐标.4)（3 ⎭OB的坐标为 3， ⎪ ； （2）∴ DC ∥ AB ． 答案：(1)抛物线的解析式为:y = x 2 +答案：（1） 点 F 的坐标为 (2, 17 ) .5（2） S∆OBC> S∆ABC. （3）点 A 的坐标为 (2,4)6． 07 上海）如图，在直角坐标平面内，函数 y = m（ x > 0 ，m 是常数）的图象经过 A (1， ， xB (a ，b ) ，其中 a > 1 ．过点 A 作 x 轴垂线，垂足为C ，过点 B 作 y 轴垂线，垂足为D ，连结 AD ， DC ， CB ．（1）若 △ A BD 的面积为 4，求点 B 的坐标； （2）求证： DC ∥ AB ；（3）当 AD = BC 时，求直线 AB 的函数解析式． 答案：yADB（1）点 ⎛ 4 ⎫ C x（3）所求直线 AB 的函数解析式是 y = -2 x + 6 或 y = - x + 5二、与三角形相关7．（07 北京）在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y = mx 2 + 2 3 mx + n 经过 P ( 3 , 5),A (0, 2)两点. (1) 求此抛物线的解析式;(2) 设抛物线的顶点为 B , 将直线 AB 沿 y 轴向下平移两个单位得到直线 l , 直线 l 与抛物线的对称轴交于 C 点, 求直线 l 的解析式;(3) 在(2)的条件下, 求到直线 OB , OC , BC 距离相等的点的坐标．1 2 33 3x + 2(2)直线 l 的解析式为 y =3x3(3) 到直线 OB 、OC 、BC 距离相等的点的坐标分别为:M 1 (- 2 3 3, 0)、 M 2 (0, 2)、 M 3 (0, -2)、M 4 (-2 3 , 0).（8． (08 北京)平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = x 2 + bx + c 与 x 轴交于 A , B 两点(点 A 在点 B 的左侧), 与 y 轴交于点 C , 点 B 的坐标为(3, 0), 将直线 y = kx 沿 y 轴向上平移 3 个单位长度后恰好经过 B , C 两点.(1) 求直线 BC 及抛物线的解析式;(2) 设抛物线的顶点为 D , 点 P 在抛物线的对称轴上, 且∠APD =∠ACB , 求点 P 的坐标;(3) 连结 CD , 求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数.答案：(1) 直线 BC 的解析式为 y = -x + 3. 抛物线的解析式为 y = x 2 - 4x + 3.(2)点 P 的坐标为 (2, 2) 或 (2, -2).(3) ∠OCA 与∠OCD 两角和的度数为 45︒.9．（10.6 密云） 已知：如图，抛物线 y = - x 2 + mx + 2m 2 (m > 0) 与 x轴交于 A 、B 两点，点 A 在点 B 的左边，C 是抛物线 上一动点（点C 与点 A 、B 不重合），D 是 OC 中点，连结 BD 并延长，交 AC 于点 E ．（1）求 A 、 B 两点的坐标（用含 m 的代数式表示）； （2）求CE的值；AE（3）当 C 、 A 两点到 y 轴的距离相等，且 SCED =85时， 求抛物线和直线 BE 的解析式．答案：（1） A （ -m ，0）， B （ 2m ，0）．（2）CE 2= ．AE 3（3）抛物线的解析式为 y = - x 2 + 2 x + 8 ．直线 BE 的解析式为 y = - 4 16x +3 310． 崇文 09）如图，抛物线 y = ax 2 + bx - 3与x 轴交于A , B 两点 ，与 y 轴交于点 C ，且 OB = OC = 3OA ．（I ）求抛物线的解析式；（II ）探究坐标轴上是否存在点 P ，使得以点 P , A , C 为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出 P 点坐标，若 不存在，请说明理由； 1 （III ）直线 y = -x + 1 交 y 轴于 D 点， E 为抛物线顶3（I ）∴ y = x 2 - 2 x - 3 （II ） P (0, ) P (9,0) ， P (0,0) 3Q 答案：（1） y = - OFCx点．若 ∠DBC = α ， ∠CBE = β , 求α - β 的值．答案：1 12 3（III ） ∠α - ∠β = ∠α - ∠DBO = ∠OBC = 45︒ ．11. (11.6 东城) 如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，直角梯形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC 在 x 轴的正半轴上，OA ＝AB ＝2，OC ＝3，过点 B 作 BD ⊥BC ，交 OA 于点 D ．将∠DBC 绕点 B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交 y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点 E 和 F ．（1）求经过 A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）当 BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求 CF 的长；E y（3）在抛物线的对称轴上取两点 P 、（点 Q 在点 P 的上方），A B且 PQ ＝1，要使四边形 BCPQ 的周长最小，求出 P 、Q两点的坐标．D2 4x 2 + x + 2 ．3 3 24 2 8（2）由 y = - x 2 + x + 2 ＝ - ( x - 1)2 + ． C F ＝FM ＋CM3 3 3 37＝ ．32 （3）点 P 的坐标为（1，）3三、与面积有相关12．（11.6 通县）已知如图， ∆ABC 中， AC = BC ， BC 与 x 轴平行，点 A 在 x 轴上，点C 在 y 轴上，抛物线 y = ax 2 - 5ax + 4 经过 ∆ABC 的三个顶点，（1）求出该抛物线的解析式；（2）若直线 y = kx + 7 将四边形 ACBD 面积平分，求此直线的解析式.（3）若直线 y = kx + b 将四边形 ACBD 的周长和面积同时分成相等的两部分，请你确定 y = kx + b 中 k 的取值范围.0) 答案：（1）直线 DE 的解析式：y =-x +12 （3）b = 1 (m - 5)2 + 11 ∴当m = 5, b13．（11.6 顺义）已知，如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4(a ≠ 0) 与 y 轴交于点 C ，与 x 轴交于点 A ，B ，点 A 的坐标为 (-4， ，对称轴是 x = -1 ．（1）求该抛物线的解析式；（2）点 M 是线段 AB 上的动点，过点 M 作 MN ∥ AC ，分别交 y 轴、 BC 于点 P 、 N ，连接 CM ．当 △CMN 的面积最大时，求点 M 的坐标；（3）在（2）的条件下，求S ∆CPN 的值.S∆ABC四、与最值相关14．（09 石景山）平面直角坐标系中有一张矩形纸片 OABC ，O 为坐标原点，A 点坐标为 （10，0），C 点坐标为（0，6），D 是 BC 边上的动点（与点 B 、C 不重合）．如图②,△将 COD 沿 OD 翻折，得到△ FOD ；再在 AB 边上选取适当的点 E △，将 BDE 沿 DE 翻折，得到△ GDE ， 并使直线 DG ，DF 重合．（1）图①中，若△COD 翻折后点 F 落在 OA 边上，求直线 DE 的解析式．（2）设（1）中所求直线 DE 与 x 轴交于点 M ，请你猜想过点 M 、C 且关于 y 轴对称的抛物线与直线 DE 的公共点的个数，在图①的图形中，通过计算验证你的猜想．（3）图②中，设 E （10，b ），求 b 的最小值．图① 图②（2）直线 DE :y =-x +12 与抛物线: y = -1 24x 2 + 6 只有一个公共点11=6 6 最小值 615．已知抛物线 y = ax 2 + bx + 2 的图像经过点 A 和点 B ．yB（1）求该抛物线的解析式；(2) 把(1)中的抛物线先向左平移 1 个单位，再向上或向下6=平移多少个单位能使抛物线与直线 AB 只有一个交点? 求出此时抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线向右平移 5 2个单位，再向下平移 t 个单位（t >0），此时，抛物线与 x 轴交于 M 、N 两点，直线 AB 与 y 轴交于点 P ，当 t 为何值时，过 M 、N 、P 三点的圆的面积最小？最小面积是多少？1答案：（1）抛物线的解析式为 y = x 2 - 3x + 2 .(2) 析式为 y = ( x - )22（３）当 t = 5 时，过 M 、N 、P 三点的圆的面积最小，最小面积为9π16．（09 海淀）如图 13，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y = -3 3x + 2 分别交 x 轴、y轴于 C 、A 两点.将射线 AM 绕着点 A 顺时针旋转 45°得到射线 AN .点 D 为 AM 上的动点， 点 B 为 AN 上的动点，点 C 在∠MAN 的内部.（1） 求线段 AC 的长；（2） 当 AM ∥x 轴，且四边形 ABCD 为梯形时，求△BCD 的面积； （3） 求△BCD 周长的最小值；（4） 当△BCD 的周长取得最小值，且 BD = 5 2 3时,△BCD 的面积为 .答案：（1） AC =4.（2）当 AM ∥x 轴，且四边形 ABCD 为梯形时，△S BCD 2 3 -2.（△3）∴ BCD 的周长的最小值为 4 2 . （4） 4 3.五、与四边形及圆相关17．(12.1 年西城)已知：在如图 1 所示的平面直角坐标系 xOy 中，A ，C 两点的坐标分别为A (2,3) ， C (n , -3) （其中 n ＞0），点B 在 x 轴的正半轴上．动点 P 从点 O 出发，在四边形 OABC 的边上依次沿 O —A —B —C 的顺序向点 C 移动，当点 P 与点 C 重合时停止运动．设点 P 移动的路径的长为 l △， POC 的面积为 S ，S 与 l 的函数关系的图象如 图 2 所示，其中四边形 ODEF 是等腰梯形． （1）结合以上信息及图 2 填空：图 2 中的 m =；（2）求 B ，C 两点的坐标及图 2 中 OF 的长；（3）在图 1 中，当动点 P 恰为经过 O ，B 两点的抛物线 W 的顶点时，① 求此抛物线 W 的解析式；⎛-3+177-17⎫（3）P22⎪⎝⎭⎛-3-177+17⎫P22⎪⎝⎭②若点Q在直线y=-1上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以B，P，Q，R四点为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标．答案：（1）中的m=13．（2）OF=2x+DE=213+35．D（3）符合题意的点Q的坐标是Q(0,0)，Q(226-4,426-19)．1218.（12.年1石景山）如图，矩形A'B C'O'是矩形ABCO绕点B顺时针旋转得到的．其中点O',C在x轴负半轴上，线段O A在y轴正半轴上，B点的坐标为(-1,3)．（1）如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过O、O'两点且图象顶点M的纵坐标为-1．求这个二次函数的解析式；（2）求边O'A'所在直线的解析式；（3）在（1）中求出的二次函数图象上是否存在点P，使得S∆PO'M=3S∆CO'D,若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．答案：（1）y=x2+2x（2）y=48x+33，⎪，1，⎪．219．（12.1怀柔）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，(1)如图(甲)，若∠C=90°，AB=10，BC=6，AD-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧）.已知A点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，∆PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和∆PAC的最大面积.11答案：（1）抛物线为y=(x-4)2-1=x2-2x+3.44y(2)答：l与⊙C相交.D（3）∆PAC的面积最大为274.A 3此时，P点的坐标为（3，-）.4O B C x(第19题) 20．（11.6朝阳）在△ABC中，D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，以DE为折线，将△ADE翻折，设所得的△A’DE与梯形DBCE重叠部分的面积为y.1=，则y的值为；AB3(2)如图(乙)，若AB=AC=10，BC=12，D为AB中点，则y的值为；(3)若∠B=30°，AB=10，BC=12，设AD=x.①求y与x的函数解析式；②y是否有最大值，若有，求出y的最大值；若没有，请说明理由.答案：（1）8当x=20BBDDB A'AD E A'AEC A'E A C C图(甲)图(乙)备用图3.（2）12.（3）y=S∆DA'E -S10⎝3⎭3时，y值最大，最大值是10．。