的表达式。 10. 写出在
表象中的泡利矩阵。 11. 电子自旋假设的两个要点。 12.
的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？ 13. 写出电子自旋
的二本征态和本征值。 14. 给出如下对易关系：
15.
、
分别为电子的自旋和轨道角动量，
为电子的总角动量。证明：
，[
]=0，其中
。 16. 完全描述电子运动的旋量波函数为
的力学量完全集分别是什么？两种表象中各力学量共同的本征态及对应 的本征值又是什么？
21. 使用定态微扰论时，对哈密顿量
有什么样的要求？ 22. 写出非简并态微扰论的波函数（一级近似）和能量（二级近似）
计算公式。 23. 量子力学中，体系的任意态
可用一组力学量完全集的共同本征态
展开：
， 写出展开式系数
粒子体系的波函数。
二、计算题
（一）.已知厄密算符
，满足
，且
，求 1、在A表象中算符
、
的矩阵表示； 2、在B表象中算符
的本征值和本征函数； 3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。
（二）. 设氢原子在
时处于状态
，求 1、
时氢原子的 、 和 的取值几率和平均值； 2、 时体系的波函数，并给出此时体系的 、 和 的取值几率和平均值。
（十三）、
（1）力学量算符 满足最简单的代数方程为 ，其中 、 、…为常数，试证明 有 个本征值，它们都是方程 的根。 （2）若以 和 表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基 本对易式： ，且
， ，以 表示该单粒子态上的粒子数算符，利用（1）的结论，求 的本征值。
（十四）、
有一带电荷 质量 的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.
（十五）、
试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能 ]
（十六）、
对于无限深势阱中运动的粒子（见图3-1）证明
并证明当 时上述结果与经典结论一致。
（十七）、
利用测不准关系估计类氢原子中电子的基态能量（设原子核带电 Ze）。
（十八）、在
表象中，求 的本征态
（十九）、
一维无限深势阱（ ）中的粒子受到微扰：
) （九）、已知二阶矩阵 、 满足： ， ， ，在 表象中，求出矩阵 、 。
（十）、在
表象中，求自旋算符 在 方向投影算符 的本征值和相应的本征态。 （十一）、用 做尝试波函数，用变分法求谐振子的基态能量。
（十二）、 一电荷为
的线性谐振子受恒定电场
作用，电场沿正
方向。用微扰法求体系的定态能量和波函数。
（六）、当 为一小量时，利用微扰论求矩阵
的本征值至 的二次项，本征矢至 的一次项。
（七）、一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相
互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有 几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?
（八）、粒子在一维势场
中运动,证明:属于不同能级的束缚态波函数互相正交。(设 、 分别属于能级 、 的束缚态波函数，由于是一维束缚态， 、 都是实函数，故只需证明
的表达式。 24. 一维运动中，哈密顿量
，求
25. 什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。
26. 什么样的状态是定态，其性质是什么？ 27. 简述测不准关系的主要内容，并写出坐标
和动量
之间的测不准关系。 28. 厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？ 29. 全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同
（三）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交
基下哈密顿算符由下面的矩阵给出
这里， ， 是一个常数， ，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。
（四）、令
， ，分别求 和 作用于 的本征态 和 的结果，并根据所得的在
时处于状态
，其中 ，求 1、在 时体系能量的取值几率和平均值。2、 时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值
， 准确叙述
及
分别表示什么样的物理意义。 17. 二电子体系中，总自旋
，写出（
）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。 18. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？ 19. 给出一维谐振子升、降算符
的对易关系式；粒子数算符
与
的关系；哈密顿量
用
或
表示的式子；
（亦即
）的归一化本征态。 20. 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有哪两种表象？它们
量子力学复习题
量子力学常用积分公式 (1)
(2) (3)
(4) (5)
(6) (7 )
( ) (8)
(a<0)
(
正偶数)
(9)
=
( 正奇数)
( ) (10)
( ) (11))
( ) (12)
(13) (14) (15) (16)
( )
( )
一、简答题
1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。 2. 简并、简并度。 3. 用球坐标表示，粒子波函数表为
的作用，求基态能量的一级修正。
（二十）、
令
(1) 证明T是厄米矩阵 (2) 求本征值 (3) 求归一化的本征态 构造基矢变换矩阵S，使得T成为对角矩阵。
三、教材中习题及作业题，参见电子教案。
老师课程网址 http://61.153.216.116/ec3.0/C119/Course/Index.htm
，写出粒子在立体角
中被测到的几率。 4. 用球坐标表示，粒子波函数表为
，写出粒子在球壳
中被测到的几率。 5. 一粒子的波函数为
，写出粒子位于
间的几率。 6. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。 7. 写出三维无限深势阱
中粒子的能级和波函数。 8. 一质量为 的粒子在一维无限深方势阱
中运动，写出其状态波函数和能级表达式。 9. 何谓几率流密度？写出几率流密度