喀兴林高等量子力学习题E X2.算符EX2.算符2.1证明下列常用公式 (陈玉辉解答 项鹏核对 )(1)C B A C A B BC A ],[],[],[+=证明:CB AC A B CBA AB CA AC B BAC ABC BCA BAC BCAABC BC A ],[],[][][],[+=-+-=-+-=-=(2)B C A C B A C AB ],[],[],[+=证明:BC A C B A BCA AC CB BC A CABACB ACB ABC CABABC C AB ],[],[][][],[+=-+-=-+-=-=2.2 若算符B 与],[B A 对易,证明: (陈玉辉解答 项鹏核对 )],[],[1B A nB B A n n -=证明:],[],[],[],[111---+=⋅=n n n n B A B B B A B B A B A将n 换成(n-1),就有],[],[],[221---+=n n n B A B B B A B A],[],[2],[],[],[],[2212211-----+=++=⇒n n n n n n B A B B B A B A B B B A B B A B A重复这种递推过程(n-1)次,即得],[],[],)[1(],[],)[1(],[111)1(11B A nB B A B B B A n B A B B B A n B A n n n n n n n n -------=+-=+-=#练习2.3 证明: (输入人:杜花伟 核对人:王俊美)(1)若A 有逆,a ≠0,则aA 也有逆,且111)(--=A aaA ; (2)若A,B 都有逆,则AB 也有逆,且111)(---=A B AB ;(3)})(1{)(111---+-=+B A B A B A ;(4)⋅⋅⋅+++=--------11121111)(BA BA A BA A A B A λλλ.(λ为复数);证明:(1)若A 有逆,a ≠0,满足1,111==--aa AA ,则11111==----AA aa A aAa所以aA 有逆,且111)(--=A aaA . (2) 若A,B 都有逆,满足1,111==--BB AA ,则1111==---AA A ABB所以AB 有逆,且111)(---=A B AB .(3)})(1{})())({(}))({(})({)()(111111111111------------+-=+-++=+-+=+=+=+B A B A B A B B A B A A B A B B A A B A A A B A A A B A(4) 由于1)1(--χ(x 极小,即x →0时)展为级数:⋅⋅⋅++++=--3211)1(χχχχ故(⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅+++=-=-=----------------111211*********11)1()1()]1([)(BA BA A BA A A BA BA BA A BA A BA A B A λλλλλλλ#2.4 若线性算符A 有逆,{|μ>}(i=1,2,3,…,n )是A 的有限维的定义域的中的一组完全集。
证明在A 的值域中{A|μ>}也是一组完全集,从而证明值域的维数与定义域相同。
证明:已知A 为可逆算符得111==--A A AA{|μ>}(i=1,2,3,…,n ) 是A 的有限维的定义域中的一组完全集>μ>=|Ψ|A定义域 |μ>为n 维的假设值域|Ψ>不是一组完全集,那么值域中的每一个|Ψ>在定义域中有且只有一个|μ>所以的|Ψ>为数肯定小于n 。
又因为A 算符是可逆的,所以得>μ>=|Ψ|A -1定义域|Ψ>维数小于n 的那么不论|μ>是否为完全集都应该小于或等于n 维的。
这样的话|μ>的维数与题目相矛盾由此得之A 的值域中{A|μ>}也是一组完全集,而值域的维数与定义域相同。
练习 2.5 有逆算符A 的定义域是有限维的,若已知1=AB ,证明 1=BA 。
证明:(何建贤解答 项朋核对)已知A 是可逆算符,所以11=-AA 和11=-A A又因为1=AB ,即1-=AA AB两边同时右乘得A AA ABA 1-=两边同时左乘1-A 得A AA A ABA A 111---=所以得:1=AB#练习2.6 证明任何线性算符作用于零矢量ο上,必得零矢量。
证明:(高召习解答 孟祥海核对)设A 为任意线性算符,由线性算符的性质得:αϕαϕ)|A ()A(|>=>令0=α,由于>=>ϕααϕ||, 0|0>=ϕ所以 )|(0|A >>=ϕA令>>=φϕ||A ,所以0|00|0|>==>>=φφA#练习 2.7 (2.7)式与(2.8)式还各有一个用()[]i A B ,型多重对易式表示的式子,试把它们求出来。
(高召习解答 孟祥海核对)解:(1)由于]],,[[],[],[],[],[)2()1()0(A A B A B A B A B BA B ===L L L L L L 显然,对于],[)1(A B 型多重对易式有],[]],,[[)1()(+=i i A B A A B],[],[],[)1()1()1(+=-i A B A B A A A B即],[],[],[)1()1()1(A B A A B A A B i -+=+(2)由于],[],[)()(i i A B B A -= (1) 且1)(11)(1],[!)!(!],[-=-=∑∑-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n i n i n i ni n A B A i i n n A B A i n B A (2) 把(1)代入(2)得1)(11)(1],[!)!(!],[-=-=∑∑--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n i n i n i ni n A A B i i n n A A B i n B A #练习2.8 试用数学归纳法证明:(陈玉辉解答 项鹏核对)111],[],[-=-∑=i ni n nB B A B B A 证明:用数学归纳法,当n=1时原式成为],[],[B A B A =原式显然成立;现设原式对n 成立,推出它对n+1也成立:1111)1(1)1()1()1(111)1(1111],[],[],[],[],[],[],[],[],[-+=-+-++-+-=-+-=-+∑∑∑=+=+=+=⋅=i n i n n n n i ni n ni n i n nn n n B B A B B B A B B B A B B B A B B A B B B B A B A B B B A B A这就证明了原式对n+1也成立,所以111],[],[-=-∑=i ni n nB B A B B A #2.92.10 若算符A 有逆,证明A 的伴算符也有逆,而且()()+--+=11A A 证明:取一任意ϕ ()ϕϕϕϕB A B A ++===1可见对于任意ϕ,确有ψ存在,这个ψ就是ϕB 。
若21ψψ++=A A ,用C 作用在此式两边 21ψψ++=CA CA但此式就是21ψψ=,所以()1-+A 存在,因此A 的伴算符也有逆。
又因A 有逆,即11=-AA则()*++--==ϕψψϕψϕA A AA 11由于*=ϕψψϕ则()11=++-A A又因+A 有逆,所以()()+--+=11A A #2.11 伴算符的定义式(2.24)或ψϕψϕ+=B B 可否改成对任意ψ有:ψψψψ+=B B ?(许中平 核对:田军龙) 证明:取一任意ψ,都有()()ψψψψB B =式中的B 是右矢空间的算符,此式右边的()ψψB 的右矢ψ与左矢B ψ的内积,单用右矢空间的话说,就是右矢ψ与右矢ψ+B 的内积,在单一空间中,此式正是伴算符+B 的定义式,写成单一空间的形式就是:()()ψψψψ,,+=B B因此,ψϕψϕ+=B B 可改成对任意ψ有:ψψψψ+=B B#练习 2.12本节提到的由0A ψψ=断定0A =的定理对于实空间(即数乘中的数是实数)是不成立的。
试在三维位行空间(内积定义为标量积y x ⋅)中举出一个反例,证明此定理对实空间不成立。
(邱鸿广解答 田军龙审核)证明:在实空间中只要算符A 为一个把矢量逆时针旋转90度的变换矩阵。
则当它作用到任何一个位行空间矢量ψ上后再与原来的矢量ψ点积都为零。
但A 不为零。
所以不成立。
例: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100001010A#2.13 证明:若A,B 是厄米算符,则当且仅当A,B 对易时,算符AB 才是厄米算符。
(李泽超解答 董廷旭核对)证明: 充分性:A,B 对易,则AB BA =; A , B 为厄米算符,则++==B B A A ,现任取一ψ,则:***++===ψψψψψψψψAB BA A B AB即:ψψAB 是实数。
即:AB 是厄米算符。
必要性:A ,B 为厄米算符,则++==B B A A ,;AB 为厄米算符:则()+++==A B AB AB . 现任取一ψ,则:()***+===ψψψψψψψψAB BA AB AB⇒ 0=-BA AB即:算符A 与B 对易。
#2.14 证明,有逆的等距算符是幺正算符。
(李泽超解答 董廷旭核对)证明: 设算符A 是等距算符,则:1=+A A (1)由题意知算符A 有逆,则:11=-A A (2)用1-A 右乘式(1)得:1-+=A A (3)由(3)式得A 为幺正算符。
#练习2.15 设H 是厄米算符,U 是幺正算符,A 是任意算符,问下列算符是厄米的还是幺正的? (孟祥海解答 高召习核对)(1)1-UHU , (2)HA A +, (3)iH e , (4)iH iH +-11, (5)11+-U U i 证明:(1)先证: 1-UHU 是否为厄米算符,对任意矢量|ϕ>有:*1*1||||||||||>>=<=<>>=<>=<<-+++++-ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕUHU UHU U H U U H U UHU 即得证。
再证:1-UHU 是否为幺正算符,由上可知,+++=UHU UHU )(则++++=UHHU UHU UHU )(只有当1-=H H 时上式才为1,即只有当1-=H H 时1-UHU 为幺正算符。
(2)厄米性的证明:**||||||||>=<>>=<>=<<++ϕϕϕϕϕϕϕϕHA A A H A A H A HA A即得证。