数列型不等式证明的常用方法一． 放缩法数列型不等式证明是前见年高考中的一个热点，在多省试题中常常作为压轴题出现。

放缩法是数列不等式证明的 一个重要方法，它具有很强的技巧性的特点，学生往往无从下手，下面总结放缩法证明的一些常用技巧，例如 归一技巧、抓大放小技巧、回头追溯技巧、利用函数性质技巧 ，仅供参考 .1 归一技巧归一技巧，指的是将不容易求和的和式中的所有项或若干项全部转化为 同一项 ，或是将和式的通项中的一部分转 化为 同一个式子 （或数值），既达到放缩的目的，使新的和 式容易求和 .归一技巧有 整体归一、分段归一。

例如11 1 1设 n 是正整数，求证n 1n 21．2 2n111【证明】 n 1n 2L2n1 1 1 11 .2n 2n2n 2n214444244443个 1n2n11L1另外： n 1 n 22n1 1 1 1n n n n1 .144424443n个 1 n11【说明】在这个证明中，第一次我们把n 1 、n2、11L2n 这些含 n 的式子都 “归一” 为 2n ，此时式子同时变小，11L11顺利把不易求和的 n 1 n 2 2n 变成了 n 个 2n 的 和，既将式子缩小，同时也使缩小后的式子非常容易求和，这就是 “归一” 所达到的效果。

而不等式右边的证明也类似.1.1 整体归一放缩法中，如果通过将所有项转化为同一项而达到放缩目的的，称之为“整体归一” .例 1. 数列 a n 的各项均为正数， S n 为其前 n 项和，对于任意 n N * ，总有 a n , S n ,a n 2成等差数列 .( Ⅰ ) 求数列 a n 的通项公式；( Ⅱ ) 设数列 b n 的前 n 项和为 T n，且b nln n x，求证:对2a n任意实数 x 1, e （ e 是常数， e ＝）和任意正整数 n ，总有 T n 2 ；（Ⅰ）解：由已知：对于nN * ，总有 2S na n a n 2 ①成立∴ 2S n 1an 1an 12（n ≥ 2 ）②① -- ②得 2a n a na n2an 1a n 12∴ a nan 1a na n 1anan 1∵ a n , a n 1 均为正数， ∴ a n a n11（n ≥ 2）∴数列 a n是公差为 1 的等差数列又n=1 时， 2Saa2， 解得 a1111 =1∴ a nn .(nN * )（Ⅱ）证明：∵对任意实数x1, e 和任意正整数n ，总有ln nx1.b n2≤n2（放缩通项， 整体归一 ）a n∴T1 111111n2 2 21 22 3n 1n12n（放缩通项， 裂项求和 ）1111111 123n 1222nn例 2. 已知数列a n 中的相邻两项 a 2 k 1，a 2 k 是关于 x 的方程x2(3k 2k) x3k 2k0 的两个根，且a 2k 1 ≤ a 2k (k1，2，3，L ) ．（ I ）求 a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 7 ；（ II ）求数列 a n 的前 2n 项和 S 2n ；1sin n（Ⅲ）记f (n)3，2sin nT n( 1) f (2)( 1) f (3)( 1) f (4)⋯( 1)f (n 1)a 1a 2a 3a 4 a 5a 6，a 2n 1a2n1≤ T ≤ 5(nN *)求证： 6n24【分析】（ 1）略 . a 1 2 ； a 34 ； a 58时； a 712．（ II ）略 .S3n23n2n 12 ．2n2（ III ）本题应注意到以下三点，① f (n) {1,2} ，且 f (n) 具有周期性 . f (n){1, 2} ，这就有 ( 1)f ( n){1,1} ， f (n) 虽有周期性，可周期为2 .这就使当 n 很大时，和式通项(1)f (n1)的符号增加了不确定a 2n 1a2n性 .②很显然，当 n4时， a 2n 13n ， a 2 n2n；当n3时， a 2n 12n， a 2n3n . 纵然没有符号的问题，通12n 如何求和？也需要解决.项3n③T11 1 ， T 21 1 5，本题相当于证a 1a 2 6 a a2a a241 34明 T ≤ T ≤ T (n N *) ．1n 2基于以上三点，我们可以看到：T 1 ≤ T n 等价于从第二项开始的项之和为非负数，可否考虑将第三项开始的项缩小，此时可以做两方面的“归一” ，一是符号“归一” ，二是分母的部分“归一” ，两者都是要达到容易求和的目的.【解答】 当 n ≥ 3时，T n111L(1)f ( n1)6 a 3a 4a 5 a 6，a 2n 1a2 n≥111L1从第三 起“ 一”6 a 3a 4a 5a 6a 2n 1a2 n=116(31931 241 2 n)64243n=11111 1)6466(3 224 23n 2n 111111L1⋯ ,n “ 一”6 6 2 2 632 42n(3,4,5,22)116 6 2n16 ，至于不等式右 原理一 ：T n5 1 1 L( 1)f (n1)24 a 5a 6a 7 a 8a 2n 1a2n≤511 L1( 从第四 起“ 一”24 a 5a 6a 7a 8a2 n 1a2 n51111正249 2334243525L3n 2n5 1 1 1L 1(4,5, ⋯ ,n “ 一” 3)24 9 239 24 2n5 124 9 2n524 ．T 111T115又 a a6，a aaa24 ，原结论成立22 4121 31.2 分段归一放缩法中，如果我们把和式分为若干段，每一段中的各个项都转化为同一项而达到放缩并容易求和的目的的，称之为“分段归一” .例 3已知数列{ a n } 和 { b n } 满 足a 1 2,a n 1a n (a n 1 1) ，b n a n1，数列 { b n } 的前 n 和为S n .（ 1）求数列 { b n } 的通项公式；（ 2）求证：对任意的 nn1N 有 1S 2nn成立．22分析：（ 1）略 .bn1 ．n（ 2）此问可以用数学归纳法证明， 也可以用 “分段归一”的放缩法解答 .【解答】左边证明Sn111122 32 n111111 111(111() (5678) ()n 11n )2349162211(1 1) (1111) (11 )(1n1n )244888 816162214243142438 个12n 1 个 1162n11 1 1 12222144424443个 12=1+n211111里我 以2 ，22 ，3 ，4 ，⋯⋯，2n界，将22和式111 分 n 段，每段11⋯⋯i 1i 12 3n1 2 2221 （i1,2,3, , n ），每段中的数 小 一12i， 就2i1使每一段的数 小后和，从而得 .2至于不等号右 ，原理 似：S n 111 1 223 2 n1 11111 1 11(111)11( )() ()n 1n 11n n2 345678 91522212 1(11)(1111)(11) (11)(1 1 )12 24444881616n 1n 1n22214243142431442443个116个1n1个11682n 1111111n144424443n个12n12n1n2【说明】本题我们需要关注到不等号两边的性质：一方1+ n111面， 22 2 ，接着我们把不等式中间的和式除114243n个121外的部分拆分成 n 段，每段都不小于 2 ；另一方面，n11111，接着我们把不等式中间的和式除121424322n n个1外的部分拆分成n 段，每段都不大于1；在归一放缩时，我们需要注意到题设的条件和式子的性质，它是我们考虑如何归一、往哪个地方归一的关键.2 抓大放小在将和式通项中，我们保留式子主要的、数值较大的部分，去掉次要的、数值相对较小的部分，以便达到放缩和容易求和的目的，这种放缩技巧，我们称之为“抓大放小”技巧 .例如求证 :123n221222 2 332 nn通项放缩为nn， 求和即证。

2 nn2 n直接抓大放小例 4 设数列a n 的前 n 项和为 S n ，对任意的正整数n ，都有 a5S1 成立，记 b n4a n (nN *).nn1 a n（ I ）求数列 b n的通项公式；（ II ）记 c n b 2 n b 2 n 1 (nN *) ，设数列c n的前 n 项和为T n ，求证：对任意正整数n都有 T n3 .2【解答】（Ⅰ）略 .bn4n 1(1)nn ( n41)（Ⅱ）由（Ⅰ）知 b n45( 4)n1c nb2nb2 n 1552542n42n 142n 1 1(42 n1)(42n 4)2542n2542n25（分母直接抓大放44n342n444n16n小）b3,b13 ,c4又 12313当n1时，T132当n2时， T n 42511K1) 3(16316n162412 [1( 1 )n 1] 2516163111641 2516269331148216【说明】这里的分母44 n 3 42n 4 阻碍了式子的求和，式子 44n 3 42 n 4 中，最大的是44n，他起到了决定整个这个式子数值大小的作用， 3 42 n 4 相比它来说小很多，由此，我们能把44n留在，去掉342 n 4 ，这里既能起到放大式子的要求，也能使通项转化为等比数列，使和式容易求和 .就象整棵大树，我们留下了主干，把枝梢末节的地方去掉了。

拆大抵小“拆”大“抵”小指的是通项中有一两个数值在放缩时无法直接消去，只能从主要的数值中拆出一部分出来与之相抵，达到放缩的效果 .例5 设数列 a n 的前 n 项和为n，满足 2S an 1,n N ，Snn 1且 a 1 ， a 2 3， a 3 成等差数列 .（ 1） 求 a 1， a 2， a 3 的值；（ 2） 求数列 a n 的通项公式；1 1L13（ 3） 证明：对一切正整数n ，有 a a 2 an2.分析（ 1）略 . 111， a 2=4， a 3 =13a（2）略 .a1(3n1)n212（ 3）由（ 2）知 a n3n1如果将通项{2} 分母中的 1消去，通项将转化为等n31比数列{2}，可这个转化是一个缩小的放缩，与和式放大3n矛盾，因而不能直接去掉1.我们可以从通项{ 2 }n3n1 分母中的 3 中拆出一部分出 来与 1相抵，为了达到放大的目的， 拆出来的部分必须比 1大 .【解答】12221（ 3）由 a3n1 2 3n 13n 112 3n 13n 1 ，n（拆大抵小 ）11L1111故有： a 1 a 2a n33n 1113133n1122 3n 123【说明】抓大放小的技巧在于留住式子中主要的部分，既保留了式子的数值，也达到了放缩和容易求和的目的.又例如 求证 :1111521221 2 312 n1 3如果 2n1 2 2n 1 1 2n 12n 1 1 2n 1 ，那么11，则放大过头！2 n1 2n 1因为 2n1 4 2n 21 3 2n 22n 21 3 2n2 (n 2)所以通项放缩为111(n2) ，求和即证。