数列中的不等式的证明
证明数列中的不等式的一般方法：
1.数学归纳法：
①直接应用数学归纳法：这是由于数学归纳法可以用来证明与正整数相关的命题，当然也包括与正整数
相关的不等式（即数列不等式）；
②加强命题后应用数学归纳法：直接应用数学归纳法并不能证明所有数列不等式，有些数列不等式必须
经加强后才能应用数学归纳法证出.
2.放缩法：
①单项放缩:将数列中的每一项（通项）进行相同的放缩；
②裂项放缩：将数列中的每一项裂开放缩成某两项之差；
③并项放缩：将数列中的两项合并放缩成一项；
④舍（添）项放缩：将数列中的某些项舍去或添加；
⑤排项放缩：将数列中的项进行排序（即确定数列的单调性），从而求出数列中项的最值，达到证明不
等式的目的,能用排项放缩证明的数列不等式必能直接应用数学归纳法证明，反之亦然； ⑥利用基本不等式放缩：例如平均数不等式也可在数列不等式的证明中起作用.
一、直接应用数学归纳法证明
1．已知函数ax x x f +-=3
)(在)1,0(上是增函数. )1(求实数a 的取值集合A
(2)当a 中取A 中最小值时，定义数列}{n a 满足：)(21n n a f a =+且)1,0(1∈=b a ，b 为常数，试比较n n a a 与1+的大小
(3)在(2)的条件下，问是否存在正实数c 使10<-<c a n 对一切+∈N n 恒成立？
2. (2007.全国1理第22题）已知数列{}n a 中12a =
，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 中12b =，13423
n n n b b b ++=
+，123n =，，，…
43n n b a -<≤，123n =，，，…． 3．已知012)2(112=++++++n n n n a a a a ，2
11-=a 求证：（1）01<<-n a （2）122->n n a a （3）}{12-n a 递增.
4．(2004.辽宁理科高考第21题) 已知函数223)(x ax x f -=的最大值不大于6
1，又当.8
1)(,]21,41[≥∈x f x 时 （1）求a 的值； （2）设.1
1.),(,21011+<∈=<<++n a N n a f a a n n n 证明 5．(2005.重庆理科高考第22题)数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a n n a a n n n 且. （1）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；
(2) 已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=2.71828….
6. (200
7.全国2理第21题)设数列{}n a 的首项113(01)2342
n n a a a n --∈=
=，，，，，，…． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设n b a =，证明1n n b b +<，其中n 为正整数．
7. （2005.辽宁卷第19题）已知函数).1(1
3)(-≠++=x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足).(|,3|*21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-=
（1）用数学归纳法证明1
2)13(--≤n n
n b ； （2）证明.3
32<n S 8．(2004.重庆理第22题)设数列{}n a 满足).3,2,1(,1,211 =+==+n a a a a n
n n 12)1(+>n a n 证明对一切正整数n 成立；
的大小，与，判断令1)3,2,1(,)2(+==
n n n n b b n n a b 并说明理由.
二、应用单项放缩或数学归纳法或排项放缩或基本不等式证明
9．（2007重庆理科高考第21题）已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足1>n S ，且
*),2)(1(6N n a a S n n n ∈++=
（1）求{n a }的通项公式；
（2）设数列{n b }满足1)12(=-n b n a ，并记n T 为{n b }的前n 项和，求证：
*2),3(log 13N n a T n n ∈+>+
10．求证：),1(212)1211()511)(311(∙∈>+>-+
++N n n n n
11．求证：11(11)(1)(1))432
n N n ∙+++>∈-
12. 求证：)(1
212642)12(531∙∈+<⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯N n n n n 13．已知2,1≥>n a ，且+∈N n ，求证)1(1a a n a
a n n ->-
三、应用裂项放缩证明
14. 已知)(x f y =，1)1(=-f ，对任意实数y x ,满足：3)()()(-+=+y f x f y x f
(1)当N n ∈时求)(n f 的表达式
(2)若11=b ，)1(1-+=+n f b b n n ，求n b
(3)求证当+∈N n 时4
711121<+++n b b b 15．（2006年全国卷I 第22题）设数列{}n a 的前n 项的和14122333
n n n S a +=
-⨯+)(+∈N n ， （1）求首项1a 与通项n a ；
（2）设2n
n n T S =)(+∈N n ，证明：132n i i T =<∑. 16. 已知+∈N n ，求证：3)11(2<+≤n n
. 17. 定义数列如下：*+∈+-==N n a a a a n n n ,1,2211,求证：
（1）对于*∈N n 恒有n n a a >+1成立。

（2）当*∈>N n n 且2，有11211+=-+a a a a a n n n 成立。

（3）111121
12006
212006<+++<-a a a 18．求证：)(2
)12)(12(5323114222∙∈<+-++⨯+⨯<N n n n n n n 19．求证：)()12(2167)
12(151311222∙∈+->-++++
N n n n
四、应用并项放缩证明
20. 已知n n a a 211+=+，7
111=a ，求证(-1)a 1 +(-1)2a 2+…+(-1)n a n <1 21．(2004全国理科3高考第22题)已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n
(1)写出数列{}n a 的前三项321,,a a a ；
(2)求数列{}n a 的通项公式；
(3)证明：对任意的整数4>m ，有8
711154<+++m a a a . 22．已知()x x f x e e -=+，求证：12
(1)(2)(3)
()(2)n n f f f f n e +>+.
五、加强命题后应用数学归纳法证明或加强命题后应用排项放缩证明
23. 求证：),1(33322
1222∙∈><++++N n n n n
24．（2006福建理科高考第22题）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）证明：*122311...().232
n n a a a n n n N a a a +-<+++<∈ 25．（2006江西理科高考第22题）已知数列｛a n ｝满足：a 1＝
32，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－ （1）求数列｛a n ｝的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n ，不等式a 1∙a 2∙……a n <2∙n ！
六、应用舍（添）项放缩证明
26．（2007浙江理科高考第21题）已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -，是关于x 的方程
023)23(2=⋅++-k k k x k x 的两个根，且212(123)k k a a k -=≤，
，，． （1）求1a ，2a ，3a ，7a ；
（2）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；
（3）记sin 1()32sin n f n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(2)(3)(4)(1)
123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++…，
求证：15()624n T n *N ≤≤．。