华北水利水电学院高等数学（下）课程名称：＿数项级数敛散性判别法总结＿＿专业班级：＿＿＿＿2 0 1 1 0 0 7＿＿＿＿成员：＿＿张吉 201100713＿＿＿＿联系方式：＿＿150****5241＿＿2012年5月23日数项级数敛散性判别法总结摘要：级数是数学分析中的主要内容之一，我们学习过的数项级数收敛性判别法有很多，如：等比级数、调和级数的收敛性、比值辨别法、极值辨别法。

比较判别法的极限的形成，比较判别法和交错判别法等。

关键词：数项级数 收敛性 判别法 一、数项级数的收敛性定义２（高等数学 航空工业出版社 ｐ227）。

如果 1U n n ∞=∑的部分和数列 []n S 的极限存在，即：lim n →∞n S =S则称级数 1U n n ∞=∑ 收敛 ，S 为级数 1U n n ∞=∑ 的和。

记为：1231U ......= S nn n U U UU ∞==++++∑如果 lim n →∞n S 不存在，则称级数 1U n n ∞=∑ 发散。

二、等比级数的收敛性，总结如下：等比级数（几何级数） n 0naq∞=∑(0)a ≠当 1q < 时，级数收敛，且和 S = n 0naq∞=∑1a q=- 当1q ≥ 时，级数发散。

讨论如下：等比级数 2+na aq a a q qaq =++ｎ．．．＋ (0)a ≠ 的收敛性：当q ≠１时，部分和 2+11a a aq a a qq qq --++==-=ｎ１ｎ．．．＋（）ｎＳ因此，当1q <时，lim n →∞n S 1aq=- 此时，级数收敛。

当 1q ＞ 时， lim n →∞n S ∞＝ 此时级数发散。

当q 1=- 时，n 为奇数时，n a S = ，n 为偶数时，0n S =。

故lim n →∞n S 不存在。

此时发散。

当ｑ＝１时，...()na a a na n S =++=→∞→∞ ，故发散。

总结：常用的判别方法，只是用等比级数。

三、证明调和级数的敛散性。

（反证法）例如：证明 11n n∞=∑ 是发散的。

证：假设调和级数 11n n∞=∑ 收敛，其和为S ，则2lim ()0n n n S S →∞=-=然而，211111...=123222n n n n n n n n S S -=+++>+++由上可知，n →∞时，有 02≥矛盾出现，因而假设不成立，所以调和级数时发散的。

四、性质1. 如果级数1n Un∞=∑ 收敛于和S ，则它的各项乘以一个常数K 所得的级数 1n KUn∞=∑ 也收敛，且和尾 KS 。

性质2. 如果级数 1n Un ∞=∑ 1n n θ∞=∑ ，分别收敛于 1S 2S 则级数 1(n)n Un θ∞=+∑ 也收敛，和为 12S S + 。

性质3. （两边夹定理）如果Un n Wn θ≤≤，且1n Un ∞=∑ 和 1n Wn ∞=∑都收敛，则 1n n θ∞=∑ 也收敛 性质4. 在一个级数中任意去掉，增加或者改变有限项后，级数的收敛性不会改变，但对于收敛级数，其和将会受到影响。

性质5. 如果级数1n Un∞=∑收敛，则对于级数的项任意加括号后所得到得级数121(...)(1...)n nk nk u u u u u -+++++++仍收敛，且其和不变。

注意！：如果加括号后所得的级数收敛，则不能断定去括号后原来的级数也收敛。

例如：(11)(11)...-+-+ 收敛于零，但级数却是发散的。

根据性质5可以推论出：如果加括号所得的级数发散，则原来的级数也发散，若原来的级数收敛，则加括号的级数仍收敛。

定理1. （级数收敛的必要条件） 如果级数1n Un∞=∑收敛，则它的一般项Un 趋近于零，即n lim 0Un →∞= 推论 ：如果n lim 0Un →∞≠（包括极限不存在），则级数 1n Un∞=∑ 发1111...-+-+散。

总结 ： 此定理应用广泛。

五、积分判别法对于P 级数 11n np ∞=∑ 有P 为实数，总结如下：当 1P > 时，级数发散。

当1P ≤ 时，级数收敛。

总结：积分判别法时一种最普遍的方法。

定理[2.1] [高等数学：第三版 科学出版社]六、比值判别法 已知级数 1n n a ∞=∑ （1）若 1lim1n n n l a a +→∞=< ，则级数绝对收敛，从而收敛（2）若 1lim 1n n nl a a +→∞=> ，或 1limn n na a +→∞=+∞ 则级数发散（3）若 1lim1n n nl a a+→∞== ， 则级数可能收敛，可能发散，需用其他方法判别其收敛性。

例如：判别 1313nn n ∞=-∑ 的收敛性解： 由于1n 13(1)13U n n +++-=，3n 1=3nn U - ，1n 1n3(1)11lim lim1313U 3U3n n n nn n ++→∞→∞+-==<-所以级数收敛。

总结：此判别法又称为 达朗贝尔（DAlembert 判别法） 是应用最广泛的判别法。

七、定理12.12（极值判别法），已知级数 1n n a ∞=∑ （1）若L n =＜１，则级数绝对收敛，从而收敛。

（2）若L n =＞１或n =∞＋ ，则级数发散。

（3）若L n =＝１，则级数可能收敛也可能发散。

需要用其他判别法判断其收敛性。

例如：判定级数 1(1)11111(1+++++...)8432102nn n ∞+=-=∑ 的收敛性 解： 11(1)111lim lim lim122(1)(1)211()()222nnnn n n nnn nn→∞→∞→∞-===<+--+由极限判别法可知，级数收敛。

总结：例题为正项级数，极值判别法可用于判别正项级数 1n n a ∞=∑ 的敛散性，形式类似于比值判别法，应用也比较广泛。

八、定理 12.7 比较判别法的极限形式 【高等数学 科学出版社】设1n n a ∞=∑ 1n n b ∞=∑ 是两个正项级数 （1）若 n lim n nca b→∞= ，且0c ≠ ，则两个级数有相同的敛散性。

（2）若 n lim n na b →∞=∞ ， 则由级数 1nn b∞=∑ 发散可推出1n n a ∞=∑ 发散 。

（3）若 n lim 0nna b →∞= ，则 1nn b∞=∑ 收敛 ，可推出 1n n a ∞=∑ 收敛。

例如：判别级数 1131n n ∞=+∑ 的敛散性 解： 选择 11n n ∞=∑ 作为参考级数，由于 3111lim 031n n n→∞+=>而级数 11n n ∞=∑ 发散，根据定理，则此级数发散。

九、定理 12.6 比较盘被罚 [高等数学 科学出版社]设 1n n a ∞=∑ ，1n n b ∞=∑ 是两个正项级数 （1）若级数 1n n b ∞=∑ 收敛，且 n n a b ≤ (=1,2,3....)n ，则级数 1n n a ∞=∑ 也收敛（2）若 1n n b ∞=∑ 收敛，且n n a b ≥ (=1,2,3....)n ，则 1n n a ∞=∑ 也发散 例如：判别级数 311nnn ∞=∑ 的收敛性解： 因为 311Un n3nnnθ=≤=而级数113nn ∞=∑ 为113q =< 等比级数 ，是收敛的，所以311nnn ∞=∑ 是收敛的。

定理八九总结：使用比较判别法及其极限形式时，常常以等比级数和P 级数作为比较标准。

十、交错级数敛散性的判别法 [高等数学 科学出版社] 定理12.8 [高等数学 科学出版社]【莱布尼茨定理】设交错级数 11(1)n n n a ∞-=-∑ 0()n a > ，如果 n a 满足条件：（1） {n a } 是单调减少数列，即 1(=12,3...)n n n a a +≤，（2） n limna →∞= 则该交错级数收敛，否则发散。

例如： 判别级数 n 11111......(1)234n-+-++- 的收敛性。

解：该级数为交错级数，1n nU=111n n U+=+ 且满足(1) 1111n n n n U U +=>=+ (=123...)n ，，(2) n n 1limlim0n n U→∞→∞== 所以级数收敛。