短语“存在一个”“至少一个” 短语“存在一个”“至少一个” 在逻辑中通常叫做 ”“至少一个 存在量词．用符号“ 表示。 存在量词．用符号“ ”表示。 ∃ 含有存在量词的命题，叫做特称命题 特称命题。 含有存在量词的命题，叫做特称命题。 常见的存在量 例 ： 如 词还有“有些” 词还有“有些” 1 有 个 数 是 数 ） 一 素 不 奇 。 有一个” “有一个” 对某个” 2 有 平 四 形 菱 。 “对某个” ） 的 行 边 是 形 有的” “有的”等.
1.4.3 含有一个量词的命题 的否定
想一想？ 想一想？
出 列 题 否 写 下 命 的 定
x 1)所 的 形 是 行 边 ； ∀ ∈M,p(x) 有 矩 都 平 四 形
2)每 个 数 是 数 每 一 素 都 奇 ； 2 3)∀x∈R, x − 2x +1≥ 0 否 : 定
2)存 一 素 不 奇 ； 存 在 个 数 是 数
是整数 3)对所有的x∈R, x > 3 4)对任意一个x∈Z,2x +1 短语“所有的”“任意一个” 在逻辑中通常叫做全 短语“所有的”“任意一个” ”“任意一个 称量词．用符号“ 表示。 称量词．用符号“ ”表示。 ∀ 含有全称量词的命题，叫做全称命题。 含有全称量词的命题，叫做全称命题。 全称命题 常见的全称量词 还有“一切” 还有“一切” 1 对 意 ∈ n +1 奇 。 ） 任 n ,2 是 数 每一个” “每一个” “任 2 所 的 方 都 矩 。 ”“所有的” ） 有 正 形 是 形 给”“所有的 所有的” 等.
想一想？ 想一想？
出 列 题 否 写 下 命 的 定 1有 实 的 对 是 数 ) 些 数 绝 值 正 ；
∃x∈M,p(x) ∃x∈M,p(x)
2)某 平 四 形 菱 ； 某 些 行 边 是 形； 形 3)∃x∈R, x2 +1< 0
否定: 否定 1)所有实数的绝对值都不是正数 所有实数的绝对值都不是正数; 所有实数的绝对值都不是正数 2)每一个平行四边形都不是菱形 每一个平行四边形都不是菱形; 每一个平行四边形都不是菱形 3) ∀ ∈R, x +1≥ 0 x
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1.4全称量词 全称量词 与存在量词
1.4.1 全称
量词
想一想？？ 想一想？？
下列语句是命题吗？ 3 2 4 之间有什么关系？ 1 ）与 ）与 下列语句是命题吗？ 与）， 与）之间有什么关系？ ） ） 1)x > 3 2)2x +1 是整数
练习:已知命题 ∀ ， ， ，三个数 课外练习 已知命题 p:∀ a b c∈（0,+∞） 三个数 ∞ ， 1 1 1 a + ， b + ， c + 中至少有一个不小于 2 .试写出 试写出 b c a 并证明它们的真假. ¬p,并证明它们的真假 并证明它们的真假
1 1 1 ,, (0,+∞ 三个数 小于2 解:¬p:∃ abc∈ ∞),三个数a+ ,b+ , c+ 全小于 . b c a 1 1 1 是真命题,则 ,, (0,+∞ 假设¬p 是真命题 则∃ abc∈ ∞), a+ +b+ +c+ <6 b c a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ∵a+ +b+ +c+ =a+ +b+ +c+ ≥ a⋅ +2 b⋅ 2 c⋅ =6 a b c a b c b c a 推出矛盾,由此可知 假命题,∴ ∴推出矛盾 由此可知¬p 是假命题 ∴p 是真命题
特称命题 它的否定
p :∃x∈M,p(x)
¬p : ∀x∈M,¬p(x)
题 否 ： 例 写 出 列 称命 的 定 1 下 特
p 1） :∃x∈R,x2 +2x+3 ≤ 0；
p 的 角 是 边 角 ； 2） :有 三 形 等 三 形
3） :有 个 数 有 个 因 。 p 一 素 含 三 正 子
含有一个量词的命题的否定
1 全称命题p： x∈M，p(x) 它的否定 p ： x∈M， p(x) 2 特称命题p： x∈M，p(x) 它的否定 p ： x∈M， p(x)
全称命题的否定是特称命题, 全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题. 特称命题的否定是全称命题
2 出 列 题 否 ， 判 真 ： 例写 下 命 的 定 并 断 假 p 意 个 边 角 都 相 的 1） :任 两 等 三 形 是 似 ； 2 2） :∃x∈R,x +2x+2=0； p
常 将 有 量 语 用 q 通 ， 含 变 x的 句 p(x)、 (x)、 示 变 x 取 范 用 示 r(x)表 ， 量 的 值 围 M表 。 称 题 存 M 的 个 使 特 命 “ 在 中 一 x， p(x)成 . 立
记 : M, 简 为 ∃x∈M,p(x)
作 存 一 x 于 使 立 。 读 “ 在 个 属 M， P(x)成 ”
练习：判断下列语句是不是全称命题或者存 练习： 在性命题，如果是，用量词符号表达出来。 在性命题，如果是，用量词符号表达出来。 （1）中国的所有江河都注入太平洋； ）中国的所有江河都注入太平洋； 不能作除数； （2）0不能作除数； ） 不能作除数 （3）任何一个实数除以 ，仍等于这个实数； ）任何一个实数除以1，仍等于这个实数； （4）每一个向量都有方向吗？ ）每一个向量都有方向吗？
练习：判断下列命题的真假： 练习：判断下列命题的真假： (1) ∀∈R, x2 + 2 > 0; (2)
∀x∈N, x ≥1 ;
4
1.4.2 存 在 量 词
想一想？？ 想一想？？
列 句 命 吗1 ） 3 ， 4 之 ） 下 语 是 题 ？ 与） 2 与） 间 什 关 ？ 有 么 系 1 x +1= 3 2)x 被 和 整 ； )2 ； 能 2 3 除 3)存 一 x∈R, 使 x +1= 3 在 个 2 ； 4)至 有 个 ∈Z, x 被 和 整 。 少 一 x 能 2 3 除
∀x∈M,p(x) ∀x∈M,p(x)
1 存 一 矩 不 平 四 形 ∃x∈M,¬p(x) )存 在 个 形 是 行∈M,¬p(x)
3)∃x∈R, x − 2x +1< 0
2
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？ 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
从形式看，全称命题的否定是特称命题。 从形式看，全称命题的否定是特称命题。
练习：判断下列命题的真假： 练习：判断下列命题的真假： (1) (2)
∃x0 ∈Z, x <1 ; ∃x0 ∈Q, x = 3.
2 0 2 0
例、判断下列命题是全称命题，还是特称命 判断下列命题是全称命题， 题？
只有一解； （1）方程 ）方程2x=5只有一解； 只有一解 （2）凡是质数都是奇数； ）凡是质数都是奇数； 有实数根； （3）方程 2＋1=0有实数根； ）方程2x 有实数根 （4）没有一个无理数不是实数； ）没有一个无理数不是实数； （5）如果两直线不相交，则这两条直线平行； ）如果两直线不相交，则这两条直线平行； 是集合A的子集 （6）集合 ）集合A∩B是集合 的子集； 是集合 的子集；
1 例 判 下 全 命 的 假 断 列 称 题 真 ： 所 的 数 是 数 1） 有 素 都 奇 ；
∀ ; 2） x∈R, x +1≥1
2
2
对 一 无 数 x 是 理 . 3） 每 个 理 x， 也 无 数
要判断一个全称命题为真， 要判断一个全称命题为真，必须对在给定集 合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判 为真； 合的每一个元素 ，使命题 为真 断一个全称命题为假时， 断一个全称命题为假时，只要在给定的集合 中找到一个元素x，使命题p(x)为假。 为假。 中找到一个元素 ，使命题 为假
如 例 ：
常 将 有 量 语 用 q 通 ， 含 变 x的 句 p(x)、 (x)、 示 变 x 取 范 用 示 r(x)表 ， 量 的 值 围 M表 。 称 题 对 中 意 个 有 全 命 “ M 任 一 x， p(x)成 . 立 简 为 ∀ ∈M,p(x) 记 : x M,
作 任 x 于 有 立 。 读 “ 意 属 M， P(x)成 ”
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论 含有一个量词的全称命题的否定 有下面的结论 全称命题 p :∀ ∈M,p(x) x 它的否定 ¬p : ∃x∈M,¬p(x)
1 出 列 称 题 否 ： 例写 下 全 命 的 定 p 有 被 除 整 都 奇 ； 1） :所 能 3整 的 数 是 数 2） :每 个 边 的 个 点 圆 p 一 四 形 四 顶 公 ； 2 3） :对 意 ∈Z， 的 位 字 等 3。 p 任 x Z， 个 数 不 于 x
2
∃x∈M,p(x)
∀x∈M,¬p(x)
∀x∈M,¬p(x) ∀x∈M,¬p(x)
些 题 它 的 定 形 上 什 变 ？ 这 命 和 们 否 在 式 有 么 化
从形式看,特称命题的否定都变成了全称命题 从形式看 特称命题的否定都变成了全称命题. 特称命题的否定都变成了全称命题 含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论 含有一个量词的特称命题的否定 有下面的结论
1 断 列 称 题 真 ： 例 判 下 特 命 的 假
2
有 个 数 使 1） 一 实 x， x +2x+3=0成 ； 立 2） 在 个 交 面 直 一 直 ； 存 两 相 平 垂 同 条 线 3） 些 数 有 个 因 . 有 整 只 两 正 数
要判断一个特称命题为真， 要判断一个特称命题为真，只要在给定的集 合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判 为真； 合中找到一个元素 ，使命题 为真 断一个特称命题为假， 断一个特称命题为假，必须对在给定集合的 每一个元素x，使命题p(x)为假。 为假。 每一个元素 ，使命题 为假