全称量词和存在量词-课件
例3 写出下列命题的否定,并判断真假. (1)任何一个平行四边形的对边都平行. (2)非负数的平方是正数. (3)有的四边形没有外接圆. (4)∃x0,y0∈Z,使得 2x0+y0=3.
【思路点拨】 确定命题类型
→ 改变量词,否定性质 → 写出原命题的否定
→ 判断真假
【解】 (1)命题的否定: “存在一个平行四边形的对边不都平行.” 由平行四边形的定义知,这是假命题. (2)命题的否定: “存在一个非负数的平方不是正数.”因为 02=0, 不是正数,所以该命题是真命题. (3)命题的否定: “所有四边形都有外接圆.”
(2)綈 p:所有三角形的三条边不全相等.
显然綈 p 为假命题.
(3)綈 p:对于任意的实数 a,b,有|a-1|+|b+2|≠0. 当 a=1,b=-2 时,|a-1|+|b+2|=0. 故綈 p 为假命题.
(4)綈 p:∃x0∈R,3x0≤0.綈 p 为假命题.
方法感悟
1.同一个命题,由于自然语言不同,可以有不 同的表述,现列表总结如下:
可写成 “∀x∈R,x2+3>0”. ∵对∀x∈R,都有x2≥0,∴x2+3>0. ∴命题是真命题. (2)命题中含有量词“至少有一个”,这是一个存在 量词,它的作用范围是自然数集,用数学符号表示 可写成“∃x∈N,x<1”. ∵0∈N且0<1, ∴命题为真命题.
【名师点评】 熟知常见的量词是解决此类问题 的关键,有些命题不含有量词,这时我们需要根 据命题的具体意义去判断.
因为只有对角互补的四边形才有外接圆,所以原命 题为真,所以命题的否定为假命题. (4)命题的否定:“∀x,y∈Z,都有 2x+y≠3.” ∵当 x=0,y=3 时, 2x+y=3, ∴原命题为真,命题的否定为假命题.
【名师点评】 (1)写命题的否定时,关键是确定命 题的类型. (2)判断命题的否定的真假时,可直接判断该命题, 也可判断原命题的真假,利用原命题和命题的否定
自我挑战 1 (2011年松原模拟)判断下列命题的真 假: (1)∀x∈R,x2+2x+1>0; (2)∃x0∈N,|x0|≤0; (3)∀x∈R,log2x>0; (4)∃x0∈R,cosx0=π2.
解:(1)∵当 x=-1 时,x2+2x+1=0, ∴原命题是假命题. (2)∵当 x=0 时,|x|≤0 成立, ∴原命题是真命题.
含有量词的命题真假的判断
(1)要判定含“存在”量词的命题为真,只要在给 定集合内,找到一个元素x0,使命题p(x0)为真, 否则,命题为假. (2)要判定一个含全称量词的命题为真,必须对给 定的集合内的每一个元素x,p(x)都为真,但要判 定其为假,只要在给定集合内找一个x0,使p(x0) 为假即可.
的真假性相反下结论. 自我挑战2 写出下列命题的否定,并判断其真假: (1)p:不论m取何实数,方程x2+mx-1=0必有实 根; (2)p:有些三角形的三条边相等; (3)p:存在实数a,b,使得|a-1|+|b+2|=0; (4)p:∀x∈R,3x>0.
解:(1)綈 p:存在一个实数 m,使方程 x2+mx-1= 0 没有实数根.因为该方程的判别式 Δ=m2+4>0 恒 成立, 故綈 p 为假命题.
思考感悟 你能举几个全称量词和存在量词吗? 提示:常见的全称量词有:“所有的”“任意一 个”“一切”“每一个”“任何一个”“任给”等. 常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有 些”“有一个”“有的”“某些”等.
课堂互动讲练
考点突破 量词的数学符号表示 全称量词用数学符号“∀”表示,特称量词用数学 符号“∃”表示.
知新益能
1.全称量词和存在量词 (1)“任意”、“所有”、“每一个”等叫作_全__称____ 量词,数学上用符号“∀”表示. (2)“存在”、“某一个”、“至少有一个”等叫作 _存__在_____量词,数学上用符号“∃”表示.
2.含有一个量词的 命题的否定 一般地,命题 “∀ x∈ I, p(x)”的否 定是 “_∃_x_∈__I_,__ _綈 ____p_(x__) ____”;命题 “∃ x∈ I, p(x)”的否定是 “_∀ ___x_∈__I_,__綈 ____p_(_x_)____”.
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16、业余生活要有意义,不要越轨。2021/2/272021/2/27Februar y 27, 2021
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17、一个人即使已登上顶峰,也仍要 自强不 息。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/27
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例2 判断下列命题的真假,并给出证明. (1)若 a>0,且 a≠1,则对任意实数 x,ax>0; (2)对任意实数 x1,x2,若 x1<x2,则 tan x1<tan x2; (3)存在常数 T0,使 sin (x+T0)=sinx; (4)有 x0∈R,使 x20+1<0.
【思路点拨】 根据命题中所含量词的含义进 行判断.
1.2.2 全称量词和存在量词
1.2.2
学习目标 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
学习目标
1.理解全称量词与存在量词的意义,会判断含有一 个量词的命题的真假. 2.能正确对含有一个量词的命题进行否定,理解 全称命题与特称命题之间的关系.
课前自主学案
温故夯基
1.对于 p∧q:若命题 p 与 q 全真,则 p∧q 为真命 题;若 p 与 q 有一个是假命题,则 p∧q 为假命题; 对于 p∨q:若命题 p 与 q 全假,则 p∨q 为假命题; 若 p 与 q 至少有一个为真,则 p∨q 为真命题. 2.将原命题的条件和结论分别否定后,作为命题的 条件和结论,构成原命题的_否___命__题____;而命题的 否定是对命题的_结__论__的__否__定____.
命题 含全称量词的命题 ①对所有的x∈M,p(x) 成立 ②对一切x∈M,p(x)成 立
表述 ③对每一个x∈M,p(x) 方法 成立
④任意一个x∈M,p(x) 成立 ⑤凡x∈M,都有p(x)成 立
含存在量词的命题
①存在x∈M,使p(x) 成立
②至少有一个x∈M, 使p(x)成立 ③对有些x∈M,使 p(x)成立 ④对某个x∈M,使 p(x)成立 ⑤有一个x∈M,使 p(x)成立
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021 6:55:15 PM
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2.注意否命题与命题的否定是不同的,若 p 表示命 题,“非 p”叫作命题的否定.如果原命题是“若 p,则 q”,那么否命题是“若綈 p,则綈 q”,而
命题的否定是“若 p,则綈 q”,即只否定结论.
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例1 指出下列两个含有量词的命题中使用了什 么量词及量词的作用范围,并把量词用相应的数 学符号取代,并判断真假. (1)对任意实数x,都有x2+3>0; (2)至少有一个自然数小于1.
【思路点拨】 判断含有的量词类型
→ 相应数学符号表示
→ 判断真假
.用数学符号表示
(3)∵当 x=1 时,log2x=0, ∴原命题是假命题. (4)∵当 x∈R 时, cosx∈[-1,1],而π>1,
2 ∴不存在 x0∈R,使 cosx0=π2, ∴原命题是假命题.
含有一个量词的命题的否定 “∀x∈I,p(x)”的否定是“∃x∈I,綈 p(x)”; “∃x∈I,p(x)”的否定是“∀x∈I,綈 p(x)”.
【解】 (1)∵ax>0(a>0,a≠1)恒成立, ∴命题(1)是真命题. (2)存在x1=0,x2=π,x1<x2,但tan 0=tan π, ∴命题(2)是假命题. (3)y=sin x是周期函数,2π就是它的一个周期, ∴命题(3)是真命题. (4)对任意x∈R,x2+1>0. ∴命题(4)是假命题.