ln x e x ln 1 x e x C x ln x ln 1 x e x C
1 1 xe x xe x 分析: x x xe (1 xe ) xe x (1 xe x )
( x 1)e dx xe dx e dx
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u 3 2x
1 1 1 1 du ln | u | C ln | 3 2x | C . 2 2 2 u 1 一般地 f (ax b)dx = a f (ax b) d (ax b) 1 [ f (u )du ]u ax b a
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2 cos xd (cos x )
u cos x
2 udu cos x C .
2
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1 1 1 dx. 例2 求 d (3 2 x) 3 2x 2 3 2x 1 1 1 解 (3 2 x)dx dx 2 3 2x 3 2x
dx dx ( 2) (1) 4 x 4 x2 2 x d ( 4 x ) 1 (3) d x 2 2 4 x 4 x2 x2 (4) d x 4 x2 dx 1 1 (5) 2 2 x 2 x 4 x dx (6) 4x x2
第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
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基本思路
设 F (u ) f (u ) , 可导, 则有
dF [ ( x)] f [ ( x)] ( x) dx F[ ( x)] C F (u ) C
f (u )du
第一类换元法
f (sin x)cos xdx f (cos x)sin xdx
dsin x dcos x
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(6) (7 )
(8)
x x f ( e )e dx

1 f (ln x) dx x
f (tan x)sec 2 xdx
dtan x
1 dx dx ∴ 原式 = 2a x a xa
d( x a ) 1 d( x a ) xa 2a x a
1 ln x a ln x a 2a
P160, 公式 (19,20) SCU
1 xa C C ln 2a x a
tan x sec x d x . 2 1 2 sin 4 x sin 2 x 1 sin 2 x 1 sin 4 x 4 4 4 2 1 (1 1 tan x cos 4 xd )x. sin 2 x cos 2 x 8 (1 cos 8 x) 8 xsec
1 f ( x) 2 C 2 f ( x)
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小结 常用简化技巧:
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项;
2 xdx cos 3x cos ex13, P164,
SCU
1 sin 2 x cos 2 x 等 (2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如
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解法 2
(sec x tan x) sec x tan x sec 2 x sec x tan x dx sec x tan x d (sec x tan x) sec x tan x
P160, 公式 (16, 17) SCU
同样可证
万能凑幂法
n 1 1 f (xn ) 1 d xn f (x ) x dx n x
n
n n f ( x ) d x f ( x n )x n 1 dx 1 n
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法
(4) 巧妙换元或配元
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思考与练习
1. 下列各题求积方法有何不同?
sin x dcos x cos xdx cos x
ln sec x C
类似
cos x dx d sin x sin x sin x
P160, 公式 (14, 15) SCU
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例5. 求 解:
1 ( x a) ( x a) 1 1 1 1 ( ) 2 2 2a ( x a)( x a ) 2a x a x a x a
解法2
e x d(1 e x ) dx x x 1 e 1 e ln(1 e x ) C
x x x
ln(1 e ) ln[e (e 1)] 两法结果一样
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例10. 求 解法1
cos x d sin x dx 2 cos x 1 sin 2 x 1 1 1 dsin x 2 1 sin x 1 sin x 1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2 1 1 sin x ln C 2 1 sin x
2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
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dx . 例9. 求 x 1 e 解法1 x x x d ( 1 e ) (1 e ) e dx d x x 1 ex 1 e x x ln(1 e ) C
(也称 凑微分法)
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例1
1 解（一） sin 2 xdx sin 2 xd(2 x ) 2 令 u 2x 1 cos 2 x C 原式 sin udu 2 1 1 cos u C cos 2x C ; 2 2
解（二）
求 sin 2 xdx.
2 sin x cos xdx sin 2 xdx
2 sin xd (sin x)
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令 u sin x
原式 2 udu
u C sin x C ;
2
2
解（三）
2 sin x cos xdx sin 2 xdx
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例15. 求 解: 原式

f ( x) f ( x) f ( x) 1 2 f ( x) f ( x)
dx
f ( x) f 2 ( x) f ( x) f ( x) dx 2 f ( x) f ( x)
f ( x) f ( x) d( ) f ( x) f ( x)
说明：熟悉第 一类换元法之 后，就没有必 要写出中间变 量的代换过程
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例3. 求
解:
a
dx
x)2 1 (a

x) d (a x )2 1 (a
P160, 公式 (21) SCU
想到

du 1 u2
arcsin u C
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例4. 求 解:
x
x
x
例15 求
解

x 4 x arcsin 2 1 1 x d dx 2 2 x 2 x x 4 x arcsin 1 arcsin 2 2 2
2

1
dx.
x x d(arcsin ) ln arcsin C . x 2 2 arcsin 2
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常用的几种凑微分形式:
1 (1) f (ax b)dx a 1 n n 1 (2) f ( x )x dx n 1 n 1 (3) f (x ) dx n x
d(a x b)
dx
n
1 n d x xn
万 能 凑 幂 法
(4) (5)
3 4
2
4
6
∴原式 =
1 4
1 cos 8 x d(8 x ) d x 64 2 1 cos 4 x d( 4 x ) 1 sin 2 x d (sin 2 x ) 2 32
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例14. 求
解: 原式=
ex
ex
1 1 x ( x ) d( x e ) x x e 1 x e
例3 解
1 dx. 求 x(1 2 ln x )
1 1 1 x(1 2 ln x )dx 2 1 2 ln xd (1 2 ln x)
u 1 2 ln x
1 1 1 1 du ln | u | C ln |1 2 ln x | C . 2 2 2 u
csc xdx ln csc x cot x C
或
x ln tan C 2
(P199 例18 )
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例11. 求
x3 (x2 a2 )
3 2
dx .
1 1 (x2 a2 ) a2 2 x 2 dx 2 dx 解: 原式 = 3 3 2 ( x2 a2 ) 2 2 (x2 a 2 ) 2 1 2 2 2 2 12 ( x a ) d( x a ) 2 a2 2 2 2 2 3 2 d ( x a ) (x a ) 2
de
x
dln x