就需要学生多做题，才能有效识别被积函数的结构，找出相
应的 微 分 因 子，进 行 有 效 的 凑 微 分 换 元，进 而 求 解 不 定
积分．
【参考文献】 ［1］同济大学数学系． 高等数学·上册（ 第四版） ［M］． 北京： 高等教育出版社，2015．
数学学习与研究 2019. 6
ex2
（
x2 ） 2
'dx
∫ =
1 2
ex2 （ x2 ） 'dx
∫ =
1 2
ex2 d（ x2 ） ；
∫ （ 4）
令 u = x2

1 2
eudu =
1 2
eu
+
C；
（ 5）
令 u = x2

1 2
ex2
+ C．
∫ 例 2 sin7xdx．
解 （ 1） f（ φ（ x） ） = sin7x，φ（ x） = 7x，g（ x） = 1；
（ 2） φ'（ x） = 7g（ x） ；
∫ ∫ （ 3）
sin7xdx =
sin7x
（
7x） 7
'dx
∫ =
1 7
sin7xd（ 7x） '；
∫ （ 4）
令 u = 7x

1 7
sinudu =
1 7
（
－
cosu）
+ C；
（ 5）
令 u = 7x

1 7
（－ຫໍສະໝຸດ cos7x）+ C．
通过以上两 个 例 子 可 以 看 出 第 一 类 换 元 法 并 不 是 很
难，但并不是所有的不定积分都可以这样直接看出来，有些
例 子 还 需 要 一 些 技 巧 进 行 转 化， 才 能 变 成
∫f（ φ（ x） ） g（ x） dx（ 其 中 φ'（ x） = cg（ x） ） 的 结 构，例 如，
∫ ∫ 4
1 +
x2 dx，－
tanxdx 等． 虽然这方面并没有统一的技巧，这
在学习不定积分 中 的 第 一 类 换 元 法 时，通 常 给 的 结 构
∫是 f（ φ（ x） ） φ'（ x） dx，但实际很多数学题中并没有直接给出
这样的结构，这样导致很多学生很难灵活运用该方法，针对 此问题，本文将采用下列步骤给学生进行讲解．
∫ （ 1） 观察： f（ φ（ x） ） g（ x） dx；
+ C；
（ 5）
u = φ（ x）
回代：
1 c
F（
φ（
x）
）
+ C．
下面我们来通过例题进行说明：
∫ 例 1 xex2 dx． ［1］
解 （ 1） f（ φ（ x） ） = ex2 ，φ（ x） = x2 ，g（ x） = x；
（ 2） φ'（ x） = 2g（ x） ；
∫ ∫ （ 3）
xex2 dx =
高教视野
18
GAOJIAO SHIYE
浅谈不定积分的第一类换元法
◎周 双 （ 重庆师范大学数学科学学院，重庆 401331）
【摘要】针 对 学 生 学 习 不 定 积 分 中 第 一 类 换 元 法 过 程 中，很难凑微分进行换元，本文采用简单的流程让学生通俗 易懂地掌握理解该方法．
【关键词】不定积分； 第一类换元法； 凑微分法
（ 2） 求导： φ'（ x） = cg（ x） ；
∫ ∫ （ 3） 凑微分：
f（ φ（ x） ） g（ x） dx =
f（ φ（ x） ）
φ'（ x） dx c
=
∫1
c
f（ φ（ x） ） dφ（ x） ；
∫ （ 4）
令 u = φ（ x）
换元：
1 c
f（ u） du =
1 c
F（
u）