长宁区2018学年第一学期初三数学教学质量检测试卷
（考试时间：100分钟 满分：150分）
考生注意:
1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本调研卷上答题一律无效.
2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤.
一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）
【每小题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】 1．抛物线3)2(22-+=x y 的顶点坐标是（ ▲ ）
（A ）)3,2(-； （B ）)3,2(--； （C ） )3,2(-； （D ） )3,2(． 2．如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上， 下列条件中能够判定BC DE //的是（ ▲ ） （A ）BC
DE
AB AD =
； （B ）AC AE BD AD =； （C ）
AE
CE
AB BD =
； （D ）AC AB AE AD =． 3．在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，如果3
1
cos =
B ，a B
C =，那么AC 的长是（ ▲ ） （A ） a 22； （B ） a 3； （C ）a 10； （
D ）
a 4
2
． 4．如果2||=，2
1
-
=，那么下列说法正确的是（ ▲ ） （A ）||2||a b =； （B ）b 是与a 方向相同的单位向量 ；（C ） 02=-a b ； （D ）
//．
5．在直角坐标平面内，点O 是坐标原点，点A 的坐标是)2,3(，点B 的坐标是)43,(-．如果以点O
为圆心，r 为半径的圆O 与直线AB 相交，且点A 、B 中有一点在圆O 内，另一点在圆O 外，那
么r 的值可以取（ ▲ ）
（A ）5； （B ）4； （C ）3； （D ）2．
第2题图
A
B
D
E
6．在ABC ∆中，点D 在边BC 上，联结AD ，下列说法错误的是（ ▲ ） （A ）如果︒=∠90BAC ，BC BD AB ⋅=2，那么BC AD ⊥； （B ）如果BC AD ⊥，CD BD AD ⋅=2，那么︒=∠90BAC ； （C ）如果BC AD ⊥，BC BD AB ⋅=2，那么︒=∠90BAC ； （D ）如果︒=∠90BAC ，CD BD AD ⋅=2，那么BC AD ⊥． 二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7．若线段a 、b 、c 、d 满足
54==d c b a ，则d
b c a ++的值等于 ▲ ． 8．如果抛物线3)3(2--=x m y 有最高点，那么m 的取值范围是 ▲ ． 9．两个相似三角形的周长之比等于4:1，那么它们的面积之比等于 ▲ ． 10．边长为6的正六边形的边心距等于 ▲ ．
11．如图，已知CF BE AD ////，若3=AB ，7=AC ，6=EF ，
则DE 的长为 ▲ ．
12．已知点P 在线段AB 上，满足AB BP BP AP ::=，若2=BP ，
则AB 的长为 ▲ ．
13．若点)7,1(-A 、)7,5(B 、)3,2(--C 、)3,(-k D 在同一条抛物线上，
则k 的值等于 ▲ ．
14．如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l 上有A 、B 两个游船码头，
观光岛屿C 在码头A 的北偏东60°方向、在码头B 的北偏西45°方向，
4=AC 千米．那么码头A 、B 之间的距离等于 ▲ 千米．（结果保留根号）
15．在矩形ABCD 中，2=AB ，4=AD ，若圆A 的半径长为5，圆C 的半径长为R ，
且圆A 与圆C 内切，则R 的值等于 ▲ ．
16．如图，在等腰ABC ∆中，AC AB =，AD 、BE 分别是边BC 、AC 上的中线，
AD 与BE 交于点F ，若6=BE ，3=FD ，则ABC ∆的面积等于 ▲ ．
第11题图
B
A C
D
E F 第16题图
A
C
D F
E
第14题图
60°
45° C
西 东
南
北
l
A
B
17．已知点P 在ABC ∆内，联结PA 、PB 、PC ，在PAB ∆、PBC ∆和PAC ∆
中，如果存在一个三角形与ABC ∆相似，那么就称点P 为ABC ∆的自相似点． 如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，12=AC ，5=BC ，如果点P 为
ABC Rt ∆的自相似点，那么ACP ∠的余切值等于 ▲ ．
18．如图，点P 在平行四边形ABCD 的边BC 上，
将ABP ∆沿直线AP 翻折，点B 恰好落在边
AD 的垂直平分线上，如果5=AB ，8=AD ，
3
4
tan =
B ，那么BP 的长为 ▲ ．
三、解答题（本大题共7题, 满分78分）
【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分）
计算：︒
-︒︒
+︒30cos 45cos 30sin 60cot 32
.
第18题图
第17题图
A
B
C
20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
如图，AB 与CD 相交于点E ，BD AC //，点F 在DB 的延 长线上，联结BC ，若BC 平分ABF ∠，2=AE ，3=BE ． （1）求BD 的长；
（2）设=，=，用含、的式子表示BC ．
21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
如图，AB 是圆O 的一条弦，点O 在线段AC 上，
AB AC =，3=OC ，5
3
sin =
A ． 求：（1）圆O 的半径长；（2）BC 的长．
第21题图
O
B
C A
A B
C
D
F
E
第20题图
22．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）
如图，小明站在江边某瞭望台DE 的顶端D 处，测得江面上的渔船
A 的俯角为40°．若瞭望台DE 垂直于江面，它的高度为3米，2=CE 米，
CE 平行于江面AB ，迎水坡BC 的坡度75.0:1=i ，坡长10=BC 米．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，cot40°≈1.19） （1）求瞭望台DE 的顶端D 到江面AB 的距离；
（2）求渔船A 到迎水坡BC 的底端B 的距离．（结果保留一位小数）
23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）
如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AC 、AB 上，延长DE
、CB 交 于点F ，且AC AD AB AE ⋅=⋅． （1）求证：C FEB ∠=∠；
（2）联结AF ，若FD CD AB FB =，求证：FB AC AB EF ⋅=⋅．
第22题图
40°
B
C D A E
第23题图
E
D
A B
F
24．（本题满分12分，每小题4分）
如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O 、点)3,1(B ，又与x 轴正半轴相交于点A ，︒=∠45BAO ，点P 是线段AB 上的一点，过点P 作OB PM //，与抛物线交于点M ，且点M 在第一象限内． （1）求抛物线的表达式；
（2）若AOB BMP ∠=∠，求点P 的坐标；
（3）过点M 作x MC ⊥轴，分别交直线AB 、x 轴于点N 、C ，若ANC ∆的面积等于
PMN ∆的面积的2倍，求NC
MN 的值．
第24题图 x
O A B
y
备用图
x
O A B
y
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）
已知锐角MBN ∠的余弦值为5
3
，点C 在射线BN 上，25=BC ，点A 在MBN ∠的内部，
且︒=∠90BAC ，MBN BCA ∠=∠．过点A 的直线DE 分别交射线BM 、射线BN 于点
D 、
E ．
点F 在线段BE 上（点F 不与点B 重合），且MBN EAF ∠=∠． （1）如图1，当BN AF ⊥时，求EF 的长；
（2）如图2，当点E 在线段BC 上时，设x BF =，y BD =，求y 关于x 的函数解析式
并写出函数定义域；
（3）联结DF ，当ADF ∆与ACE ∆相似时，请直接写出BD 的长．
第25题图
如图 2
B
F E
C N D
A M
B F
C E N A
D M
如图1
备用图
B
C N
A
M。