2019学年第一学期初三数学教学质量检测试卷（考试时间：100分钟 满分：150分）考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）【每题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】1. 下列函数中是二次函数的是（A ）； （B ）22)3(x x y -+=； （C ）122-+=x x y ； （D ）)1(-=x x y . 2. 如图，已知在平面直角坐标系xOy 内有一点），（32A的夹角α的余切值是（A ）23； （B ）32； （C ）； （D ） .3. 将抛物线3)1(2-+=x y 向右平移2（A ） 3)1(2--=x y ； （B ）3)3(2-+=x y ；（C ）1)1(2-+=x y ； （D ）5)1(2-+=x y . 4. 下列命题正确的是（A ）如果b a=，那么b a =； （B ）如果b a 、都是单位向量，那么b a=；第2题图（C ）如果)0(≠=k b k a ，那么b a // ； （D ）如果0=m 或0 =a ，那么0=a m．5. 已知在矩形ABCD 中，5=AB ，对角线13=AC ，⊙C 的半径长为12，下列说法正确的是（A ）⊙C 及直线AB 相交； （B ）⊙C 及直线AD 相切； （C ）点A 在⊙C 上； （D ）点D 在⊙C 内.6. 如果点D 、E 、F 分别在ABC ∆的边AB 、BC 、AC 上，联结EF DE 、，且AC DE //， 那么下列说法错误的是（A ）如果AB EF //，那么AB BD AC AF ::=； （B ）如果AC CF AB AD ::=，那么AB EF //； （C ）如果EFC ∆∽BAC ∆，那么AB EF //； （D 如果AB EF //，那么EFC ∆∽BDE ∆.二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7. 计算：=++-)(3)2(2b a b a▲ ．8.如果，那么yx 的值等于 ▲ ．9. 已知点P 在线段AB 上，且满足AP AB BP ⋅=2，则ABBP的值等于 ▲ ． 10. 已知抛物线2)1(x a y +=的开口向上，则a 的取值范围是 ▲ ． 11. 抛物线122-=x y 在y 轴左侧的部分是 ▲ ．（填“上升”或“下降”） 12. 如果一条抛物线经过点)5,2(A ，)5,3(-B ，那么它的对称轴是直线 ▲ ．13. 如图，传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带及地面所成的斜坡的坡度4.2:1=i ，那么物体所经过的路程AB 为 ▲ 米． 14. 如图，AC 及BE 交于点D ，︒=∠=∠90E A ，若点D 是线段AC 的中点，且10==AC AB ，则BE 的长等于 ▲ ．15. 如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90BAC ，点G 是重心， 4=AC ，，则BG16. 已知相交两圆的半径长分别为8及15，圆心距为17，则这两圆的公共弦长为▲ ．17. 如果直线l 把ABC ∆分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直线l 叫做ABC ∆的“完美分割线”．已知在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的一条“完美分割线”为直线l ，且直线l 平行于BC ，若2=AB ，则BC 的长等于▲ ．18. 如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，2=AB ，4=BC ，点P 在边BC 上，联结AP ，将ABP ∆绕着点A 旋转，使得点P 及边AC 的中点M 重合， 点B 的对应点是点B '，则B B '的长等于 ▲ ．三、解答题（本大题共7题, 满分78分）【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分）计算：22sin 30tan 60cot 45cos 60cos30sin 45︒⋅︒-︒+︒︒-︒．20．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）如图，在梯形ABCD 中，点E 、 F 分别在边AB 、CD 上，BC EF AD ////， EF 及BD 交于点G ，5=AD ，10=BC ，． （1）求EF 的长； （2）设=，=，那么= ▲ ；= ▲ （用向量21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5如图，已知AB 是⊙O 的弦，点C 在⊙O 上，且第18题图 A B第20题图ABCDEF G 第13题图传送带联结AO 、CO ，并延长CO 交弦AB 于点D ，34=AB ，6=CD ． （1）求OAB ∠的大小；（2）若点E 在⊙O 上，AO BE //，求BE 的长． 22．（本题满分10分 ）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线C B A O ---表示支架，支架的一部分B A O --是固定的，另一部分BC 是可旋转的，线段CD 表示投影探头，OM 表示水平桌面，OM AO ⊥，垂足为点O ，且7cm =AO ，︒=∠160BAO ，OM BC //，cm 8=CD ．将图2中的BC 绕点B 向下旋转︒45，使得BCD 落在D C B ''的位置（如图3所示），此时OM D C ⊥''，OM D A //'，16cm ='D A ，求点B 到水平桌面OM 的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1 cm ）23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，AE 及CD 交于点F ．若AE 平分BAC ∠，AE AC AF AB =⋅．（1）求证：AEC AFD ∠=∠；（2）若CD EG //，交边AC 的延长线于点G ，求证：BD FC CG CD ⋅=⋅．24.（本题满分12分，每小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线经过点)1,6(B 、)0,5(C ，且及y图1图3MD 'O A BC ' 45°160°第23题图GAC EDF 图2M O A B160°C D轴交于点A ．（1）求抛物线的表达式及点A 的坐标；（2）点P 是y 轴右侧抛物线上的一点， 过点P 作OA PQ ⊥，交线段OA 的延长线于点Q ，如果︒=∠45PAB ，求证：PQA Δ∽ACB Δ；（3）若点F 是线段AB （不包含端点）上的一点，且点F 关于AC 的对称点F '恰好在上述抛物线上，求F F '25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，已知在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，8=AC ，6=BC ，点P 、Q 分别在边AC 、射线CB 上，且CQ AP =，过点P 作AB PM ⊥，垂足为点M ，联结PQ ．以PM 、PQ 为邻边作平行四边形PQNM ．设x AP =，平行四边形PQNM 的面积为y ．（1）当平行四边形PQNM 为矩形时，求PQM ∠的正切值；（2）当点N 在ABC ∆内，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当过点P 且平行于BC 的直线经过平行四边形PQNM 一边的中点时，直接写出x 的值．AAPM NAx长宁区2019学年第一学期初三数学参考答案和评分建议2019.1一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．D ； 6．C ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分）7．b a-5； 8．3； 9．； 10．1->a ； 11．下降； 12．；13．13； 14．56； 15．； 16．17240； 17．424-； 18．． 三、（本大题共7题，满分78分）19. （本题满分10分）解：原式= (6分) = (2分)=13+(2分)20．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分） 解：（1） ∵ ∴ ， （1分） ∵AD EF // ∴∵5=AD ∴ ∴ 3=EG （2分） ∵BC EF // ∴ 又∵BC EF AD //// ∴∴ ∵10=BC ∴ ∴4=GF （2分） ∴743=+=+=GF EG EF（1分）（2）， （2分+2分） 21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 解：（1）设圆O 的半径为r ,则OD 的长为r -6（1分）∵CD 过圆心O , AC BC = ∴，AB CD ⊥ （1分） 在ADO Rt ∆中，︒=∠90ADO ∴ 222OD AD AO += ∴222)6()32(r r -+= ∴4=r（2分） 在ADO Rt ∆中，︒=∠90ADO ， 23432cos ===∠AO AD BAO ∴︒=∠30BAO（1分）(2) 过点O 作 BE OH ⊥，垂足为点H ，∴BH BE 2= （1分） ∵AOBE // ∴︒=∠=∠30OAB EBA（1分）联结BO ，∴ 4==AO BO ∴︒=∠=∠30OAB OBA ∴︒=∠+∠=∠60OBA EBA OBH（1分）在OBH Rt ∆中，︒=∠90BHO ， ∴260cos 4==︒BH （1分） ∴42==BH BE（1分）22．（本题满分10分）解：过点B 作C D ''的垂线交C D ''的延长线于点E ，延长OA 交BE 于点F ，设x E C ='，由题意可知：︒=∠70EBA ，︒='∠45C EB ，8=''D C ，16='=D A EF ，8+='=x E D AF （4分）在 C BE Rt '∆中，︒='∠90C BE ，得 x E C E C C EB E C BE ='='='∠'=︒45cot cot （1分） ∴16-=-=x EF BE BF（1分）在 BFA Rt ∆中，︒=∠90BFA ， 得∴5.2936.0136.081670cot 170cot 816=-⨯+≈-+=︒︒x （1分）∴cm 455.44785.2978≈=++≈++=+=x AO AF FO ． （1分） ∴点B到水平桌面OM的距离约为45cm（1分） 23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵AE AC AF AB ⋅=⋅ ∴ （1分） ∵AE 平分BAC ∠ ∴CAF BAE ∠=∠ （1分） ∴ABE∆∽ACF ∆（1分） ∴ACF B ∠=∠（1分）又∵BAE B AEC CAF ACF AFD ∠+∠=∠∠+∠=∠,∴AEC AFD ∠=∠（1分）(2)∵AEC AFD ∠=∠，CFE AFD ∠=∠ ∴AEC CFE ∠=∠ （1分）∴CE FC =（1分）∵CD EG // ∴CEG DCB ∠=∠ G ACF ∠=∠又∵B ACF ∠=∠ ∴G B ∠=∠ （2分）∴BCD∆∽GEC ∆（1分）∴ （1分）∴ 即BD FC CG CD ⋅=⋅． （1分）24．（本题满分12分，每小题4分） 解：（1）∵抛物线过点)1,6(B 、 )0,5(C∴ ∴ （2分） ∴ （1分） 令=x 得5=y ，∴点A的坐标为)5,0(（1分）（2）∵)5,0(A ，)1,6(B ，)0,5(C ∴25=AC ，2=BC ，132=AB∴222BC AC AB += ∴︒=∠90ACB又∵OA PQ ⊥ ∴︒=∠90PQA ∴ACB PQA ∠=∠ （1分）∵)5,0(A ，)0,5(C ∴OC OA =，∵︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC （1分）∵︒=∠+∠+∠+∠180CAO BAC PAB QAP ， ︒=∠45PAB∴︒=∠+∠90BAC QAP ∵︒=∠+∠90BAC ABC ∴ABC QAP ∠=∠ （1分） ∴PQAΔ∽ACB Δ（1分）（3）设点B '是点B 关于直线AC 的对称点，则2=='BC C B ，︒=∠='∠90ACB B AC过点B 作x B ⊥'G 轴，垂足为点G∵︒=∠+'∠90OCA CO B ， ︒=∠45OC A ，∴︒='∠45CO B ∴1=='GC G B ∴），（1-4B ' （1分）∵点F '同时在线段B A '及抛物线上 ，∴设分别过点F '，B '作轴y H F ⊥'，轴y H ⊥''B ，垂足分别为H 、H '，则H B H//F '''∴ 即 ∴ （1分） 又∵AC F F ⊥'，AC B B ⊥' ∴B //B F F '' ∴∴ （1分） ∵222==BC BB∴ ∴ （1分）25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）解：（1）∵四边形PQNM 是矩形 ∴︒=∠90MPQ ∵AB PM ⊥， ∴︒=∠90PMB∴︒=∠+∠180PMB MPQ ∴AB PQ // ∴CPQ A ∠=∠ （1分） 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，8=AC ，6=BC ， ∴10=AB ，∴在PMA Rt ∆中，︒=∠90AMP ，AP A AP PM 53sin =⋅= （1分） 在PCQ Rt ∆中，︒=∠90C ，CQ CPQ CQ PQ 35sin =∠=∵CQ AP = ∴ （1分）∴ 2593553tan ===∠AP APPQ PM PQM （ 1分）（2）过点Q 作AB QH ⊥，垂足为点H在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，8=AC ，6=BC ，10=AB ∴ ，∴在PMA Rt ∆中，︒=∠90AMP ，x AP A AP AM 5454cos ==⋅= （1分） 在BHQ Rt ∆中，︒=∠90BHQ ，x CQ BC BQ -=-=6∴ )6(53cos x B BQ BH -=⋅= （1分）∴ x x x BH AM AB MH 51532)6(535410-=---=--= （1分） 由（1）知， ， ∴)7240(2532596)51532(532<<-=-=⋅=x x x x x MH PM y （ 2+1分） （3） 43200或59400（ 2+2分）。