(2)：规范性 若随机变量X的一切可能值都位于区间[a , b]内,则:
P(a X b) 1,即P(a X b) b f ( x)dx 1，且此时认为: a
x a, x b时，f ( x) 0
a
b
b
F () f ( x)dx 0dx f ( x)dx 0dx f ( x)dx 1
f
x
sin
x,
0
x
2
;
0, 其它.
即可.
注 意 ：x
0,
x
2
时f
(x)
0
(2)
sin xdx 2 1,
不是.
0
(3)
当
x
,
3 2
时,
sin x 0,
与 f x 0矛盾, 不是.
第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布
例6-1-2 (拉普拉斯分布) 连续随机变量X 的概率密度为
f x Ae x , x .
0
0
注意：x 0时f ( x) 0
指数分布 e 的分布函数为
F(x)
x
f (t)dt
0
0dt
x etdt et x ex 1
0
0
第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布
即：
F x
1 e
x,
x 0;
0,
x 0.
f x
F x
1
O
,
x
,
2
x 0; x 0.
讲授下例前，介绍常用的伽玛函数的定义：
x1e x dx 0
0
伽玛函数的性质： 1 ;
(n) (n 1)!
1 .
2
例如：( 3) ( 1 1) 1 (1) 1 0! 1
22
2
22
第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布
例6-1-3 设连续型随机变量X 的概率密度为
内的概率为：
Px1
X
x2
x2 x1
f
xdx
Fx2
F x1
特殊地，P( X x) P( x X ) F () F ( x)
f ( x)dx
x
第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布
2.概率密度的性质：
(1)：非负性 f x 0;
[注]: 概率密度的图形 y f x通常叫做 分布曲线。
a
b
a
因此，用f ( x)求F( x)时，注意f ( x)何时为0十分重要。
第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布
例6-1-1 函数 sin x可否是随机变量X 的概率密度, 如果X 的可能值
充满区间: 1
0,
2
;
2 0, ;
3
0,
3
2
.
解 (1) 2 sin xdx 1, 只要定义： 0
第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布
本次课讲授第二章第六节、第七节、第 八节
下次课讲授第二章第九节、第十节、第 十一节
下次上课时交作业P19—P20
重点：连续随机变量的密度、分布及其 函数分布
难点：同上
第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布
一.概率密度函数的概念
1.概率密度函数定义：
P( x X x x)
求: (1)系数 A ; (2) 随机变量X 落在区间(0,1)内的概率;
(3)随机变量X 的分布函数.
解 (1) f xdx Ae x dx A 0 e xdx exdx 2A 1.
0
A 1 . f x 1 e x , x .
2
2
(2) P0 X 1 1 1 e xdx e 1 .
f ( x) lim
x0
x
则称f (x)为随机变量 X在x处的概率密度
（1）由F (x)求f (x)
F(x) lim Fx x Fx lim P(x X x x) f (x)
x0
x
x0
x
F(x) f (x)
第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布
（2）若已知f (x), 求F(x)
02
2e
(3) 当x 0时, F x x f tdt x 1 e t dt 1 e x .
2
2
当x 0时, F x x f t dt 0 1 e t dt x 1 e t dt 1 1 e x .
2
02
2
第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布
F
x
1
1ex 2 1e
f
x
Ax
k
x
1
2 e2
,
当 0 x;
0,
当 x 0.
其中 k 为正整数，求系数 A 的值。 注意x 0, f ( x) 0
解
k 1 x
f x dx A x 2 e 2 dx 1
0
令 x 2t, dx 2dt, 得
k
A22
t
k 2
1
e
t
dt
1
0
即：
A
2
k 2
k
1
2
令(k )
两边积分：x dF(t) x f (t）dt,即：F(x) F() x f (t）dt
F() 0, F(x) x f (t）dt
Fx P X x
x
f
xdx
(3)：连续型随机变量X 落在区间x1 , x2 [或 x1 , x2 , x1 , x2 , x1 , x2 ]
b
x
第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布
2.指数分布 定义2 设连续型随机变量X 的概率密度
f
x
e
x
,
0,
当 x 0; 当 x 0.
其中 ＞0 为常数。此类分布为指数分布，
若随机变量X 服从参数为λ的指数分布 e , 记作 X ~ e.
显然
f xdx
e x
dx
e x 1
t e
k 1 2
t
dt
20
A
k
22
1
k
2
第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布
二、均匀分布与指数分布 1.均匀分布： 定义 设连续型随机变量 X 的一切可能值充满某一个有限区 间[a , b] , 并且在该区间内任一点有相同的概率密度，即：
f x C x [a , b]
则这种分布叫做均匀分布（或等概率分布）。
f
x
F ( )
f ( x)dx
1
a
b
ba
0dx C dx 0dx
a
b
Cb a 1
C 1 ba
Oa
bx
第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布
f
x
b
1
a
,
当 a x b;
0, 当 x a 或 x b.
当 x a 时， F x PX x 0;
当 a x b 时， a
Fx PX x
0dx
x 1 dx
a ba
xa ba
当 x b 时，
F x
PX
x
a
f
( x)dx
b
a
f
( x)dx
x
b
f
( x)dx
1
第六讲 概率密度与随机变量函数的概率分布
0
x a;
F
x
x b
-
a a
a x b;
1Leabharlann x b.均匀分布的概率密度及分布函数的图形分别如下：
Fx
1
Oa