动力吸振器
许多机器或部件由于旋转部分的质量偏心而产生强迫振动， 为减小这种振动有时可以采用动力吸振器。 有阻尼动力吸振器系统
m1 k1 m1
主系统的质量和弹簧刚度
上作用有简谐激振力
阻尼动力吸振器
m2
质量
k 2 弹簧
c
阻尼
动力吸振器
系统的强迫振动方程：
m1 0 0 1 c c x1 k1 k 2 x c c x k m2 x2 2 2 k 2 x1 F0 sin t x 0 k2 2
反共振
F0 k2
吸振器振幅 x2
主系统上受到的激振力恰好被来自吸振器的弹性恢复力 平衡
动力吸振器
( 2 ) k1k2 [ s 4 (2 ) s 2 1] 则： 设 1 2 是吸振器和主系统组成的两自由度系统的固有频率
则由 ( 2 ) 0
动力吸振器
动力吸振器
多自由度系统的受迫振动
•系统对简谐力激励的响应 •动力吸振器 •模态叠加法
•系统对任意激励力的响应
系统对简谐力激励的响应
回顾：
x 单自由度系统的受迫振动 m cx kx F0 eit x 为复数变量，分别与F0 cost 和 F0 sin t 相对应
x H ( ) F0 H ( ) 复频响应函数 引入： s c 1 1 s 2 2si 0 2 k m H ( ) [ ] 2 2 2 k (1 s ) (2s) 1 (s) 1 i (1 s 2 ) 2 ( 2s ) 2 e k 2s ( s) arctan 1 s2
H ( ) [ K 2 M ]1
系统对简谐力激励的响应
MX KX F0eit X Rn

X Xeit
( K 2 M ) X F0
H ( ) [ K 2 M ]1
X HF0
因此： X HF0eit n H 的物理意义： 沿i 坐标的投影式： X i H ij F0 j
模态叠加法
模态叠加法
多自由度系统的受迫振动
多自由度系统的受迫振动
多自由度系统的受迫振动
多自由度系统的受迫振动
多自由度系统的受迫振动
多自由度系统的受迫振动
多自由度系统的受迫振动
多自由度系统的受迫振动
多自由度系统的受迫振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
1
( 2 ) 系统的特征多项式 ( 2 ) (k1 k 2 m1 2 )( k 2 m2 2 ) k 22
m1m2 4 (k1m2 k 2 m1 k 2 m2 ) 2 k1k 2
当
k2 m2
时
x1 0
主系统不再振动
2 此时 ( 2 ) k 2
为激励频率
F0 为广义激励力的幅值列阵
F0 [ F01 F02 ...... F0 n ]T
系统对简谐力激励的响应
it 系统受迫振动方程： MX KX F0e
X Rn
稳态解： Xeit X
X R n 振幅列向量 X [ X 1 X 2 ...... X n ]T
先考虑无阻尼动力吸振器 利用直接法
X X sin t x X 1 x2
得到稳态响应振幅:
x1 k1 k 2 m1 x k2 2 F0 k 2 m2 0 k2
1
动力吸振器
x1 k1 k 2 m1 x k2 2 F0 F0 k 2 m2 2 0 ( 2 ) k 2 m2 k2 k2
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
动力吸振器
m1 0 0 1 c c x1 k1 k 2 x c c x k m2 x2 2 2 k 2 x1 F0 sin t x 0 k2 2
2 代入，得：( K M ) X F0
记：H ( ) [ K 2 M ]1 则有：X HF0
多自由度系统的幅频响应矩阵
因此： X HF0eit
简谐激励下，系统稳态响应也为简谐响应，并且振动频率 为外部激励的频率，但是各个自由度上的振幅各不相同。 工程中： ( K 2 M ) 阻抗矩阵 导纳矩阵
j 1
因此H 的物理意义为仅沿j坐标作用频率为ω 的单位幅 度简谐力时，沿i坐标所引起的受迫振动的复振幅。 adj( K 2 M ) 1 2 H ( ) [ K 2 M ]1 K M 由于H含有 K 2M K 2M 0 系统的特征方程 因此，当外部激励频率ω 接近系统的任意一个固有频率时， 都会使受迫振动的振幅无限增大的引起共振。
动力吸振器
动力吸振器
动力吸振器
动力吸振器
分析： 1 0.32 当 当 0时，系统中无阻尼，两个共振频率点 s 0.976 0.时，系统变为单自由度系统，共振点 当 主系统振幅并不为零，但是和无阻尼 系统的两个共振振幅相比，共振振幅明显下降
模态叠加法
模态叠加法
x1 4m
3k 4k y 1 m k x1 k
y2 m
4k 4k
k
x2 k m 2m k x3 k 2k
x2 2k
2k
图2
图3
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
习题
1.求系统的固有频率和振型，坐标及正方向 如图1所示，平衡位置为原点。 2. 求固有频率和振型，坐标和正方向如图2 所示，取平衡位置为 x 零点
i
k x1 m k m x3 k m k k x2 k
图1
3. 求系统的固有频率和振型
m1 m2 m
设：x x eit
系统对简谐力激励的响应
多自由度系统受到外力激励所产生的运动为受迫运动
设n 自由度系统沿各个广义坐标均受到频率和相位相同 的广义简谐力的激励 系统受迫振动方程： X KX F eit X R n M
0
M , K R nn F0 R n
x为复数列阵 实部和虚部分别为余弦或正旋激励的响应