此式说明，当系统以频率p1振动时，质量m1和m2总是按 同一方向运动；而当以频率p2振动时，m1和m2则按相反 方向运动。 系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称 为系统的主振动。
§2.1二自由度系统的自由振动
K1
M1
K2
K3
M2
1 k1 k 2 x1 k 2 x2 0 m1 x 2 k 2 x1 k 2 k3 x2 0 m2 x
xc
x1
l2 )
x
k1 ( xc l1 )
2 l1l2 C 1 2 2 l2 C 2 l1l2 C 2 2 2 l1 C
其中
C
JC m

2 C
l1l2
汽车绕质心轴的 回转半径
质量分配系数
惯性耦合系数
二自由度汽车坐标变换
§2.1二自由度系统的自由振动
p1
p2
振幅比
1 2 A2 a p1 f 1 1 2 A1 b e p1
振幅比
2
2 2 A2 a p2 f 2 2 A1 b e p2

这说明，虽然振幅的大小可用振动的初始条件来确定， 但当系统按任一固有频率振动时，振幅比却和固有频率一样， 只决定于系统本身的物理性质。
平衡位置
x2
x2 x l2
2 l2 c2 l1l2 c2 1 m 2 k1 x1 0 m x x 2 2 k2 ( xc l l l12 c2 l1l2 c2 2 m 1 k 2 x2 0 m x x 2 2 l l
►耦合：从振动方程可以看出，若K2=0，则是两 个独立的弹簧质量单自由度模型。也就时说K2将 两个自由度的振动联系了起来。
§2.1二自由度系统的自由振动
K1
M1
K2
K3
M2
x t x x A sin p t A sin p t
§2.1二自由度系统的自由振动
x x
(1) 1 (1) 2
why
(1) (1) (t ) A sin( p t ) A 1 1 1 1 1 (1) (1) (t ) A2 sin( p1t 1 ) A2 ( 2) ( 2) (t ) A sin( p t ) A 2 2 1 1 2 ( 2) ( 2) (t ) A2 sin( p2t 2 ) A2
2 1, 2
a p p f

2
2
b 0 2 e p
p
ae ae bf 2 2
2
§2.1二自由度系统的自由振动
a p 2 f b A 0 1 2 e p A2 0
2
p
2 1, 2
ae ae bf 2 2
振幅比
振幅比
1 2 A2 a p1 f 1 1 2 A1 b e p1
p1
p2
2
2 2 A2 a p2 f 2 2 A1 b e p2

1 A 1 1 0 Ax
节点
节点
xc
xc


K2 K1
K2
K1
1阶主振型
二自由度汽车主振动形态
2
2阶主振型
2 A 2 0 Ax
1 A 1 1 0 Ax
节点
节点
xc
xc


K2 K1
K2
K1
二自由度汽车坐标变换
x1 x l1
x x
(1) 1 (1) 2
在任一瞬时两质量的位移比值也同样是确定的，并等于 振幅比。其它各点的位移都可由x1和x2所决定。这样在振 动过程中，系统各点位移的相对比值都可由振幅比确定。 可见振幅比确定系统的振动形态，因此称为主振型。与 1 p1对应的振幅比 称为第一阶主振型；与 p2对应的振幅 2 比 称为第二阶主振型。
根据非齐次微分方程的解的结构可知
§2.2二自由度系统的强迫振动
x1 B1 sin t x2 B2 sin t
注意由于没有阻尼，所以激励和响应之间没有相位差。 代入微分方程组，化简得
a B bB f fB e B f
2 1 2 1 2 1 2
2
二自由度汽车力学模型 坐标系统和受力分析 K2 L2 L1

K1
x
平衡位置
x2
xc
微分方程组建立
k2 ( xc l2 )
l2 (sin )
x1
x
c k1 k 2 xc k 2l2 k1l1 0 m x k l k l x k l 2 k l 2 0 J
p
2 1
e f p
2 1 2 2 2 2
ff1 2 2 p1 2 p2 2


其曲线如图2-4(下页)所示。 两个概念 ●反共振：当加在x1上的激振力的频率 e 时，B1=0，实际上相 当于没有m1和k1时m2-k2-k3组成的单自由度系统的固有频率，这 叫反共振。利用这一规律，可以对定转速的电机进行减振，也叫动力 减振方法。
2.2 二自由度系统的强迫振动
一. 简述 设在双质量弹簧系统的质量m1与m2上分别作用简谐激振力 F sin t 和 F sin t。如图2-3所示。
1 2
k1
F1 sin t
m1
x1
k2
F2 sin t
m2
x2 k3
图2-3 二. 振动微分方程及解
1 ax1 bx2 f1 sin t x 2 fx1 ex2 f 2 sin t x
c 2 2 11 c
k1 ( xc l1 )
应该为+

11
2 2

二自由度汽车自由振动分析
c k1 k2 xc k2l2 k1l1 0 m x k l k l x k l 2 k l 2 0 J
c 2 2 11 c

11

x1 A1 sin pt a p 2 A1 bA2 0 fA e p 2 A 0 1 2 x2 A2 sin pt
a p 2 f b A 0 1 2 e p A2 0
解之得
B1 B2
e f bf p p a f ff p p
2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2
§2.2二自由度系统的强迫振动
三. 解的讨论 当f2=0，得
B1 B2

二自由度汽车自由振动分析
c k1 k2 xc k2l2 k1l1 0 m x k l k l x k l 2 k l 2 0 J
c 2 2 11 c

11
2 2

K2
L2
L1

K1
ax b 0 x e fx 0
x

p1
p2
振幅比
振幅比
1 2 A a p1 f 1 1 0 2 Ax b e p1
2
2 2 A a p2 f 2 2 Ax b e p2
0
1阶主振型
二自由度汽车主振动形态
2
2阶主振型
2 A 2 0 Ax
§2.2二自由度系统的强迫振动
图2-4
§2.2二自由度系统的强迫振动
比值：当激振频率一定时是一个常数 ，即系统有一定的振型。当激振频 率等于某一 阶固有频率时，称之 为某阶主振型。
B1 e f1 bf2 2 B2 a f 2 ff1
x
k1 ( xc l1 )
k1l 1 2 m l22 C
2


k 2l 2 2 2 m l12 C


称为汽车的偏频，它表示前后支点之 一受到限制时的振动频率。即x1=0时 的振动频率是 2 ； x2=0时的振动频 率是 1。
§2.2二自由度系统的强迫振动
1 ax1 bx2 0 x 2 fx1 ex2 0 x
通解：
x1 A1 sin pt x2 A2 sin pt
幅值不同，相位相同
§2.1二自由度系统的自由振动
1 ax1 bx2 0 x 2 fx1 ex2 0 x
§2.1二自由度系统的自由振动
1 a e ae 1 bf 0 b 2 2 2 1 a e a e 2 bf 0 b 2 2
2

灯片 4
本章主要内容
一、
2.1 二自由度系统的自由振动
2.2二自由度系统的强迫振动 2.3多自由度系统的振动
二、
三、
本章实验：多自由度汽车振动分析
2.1 二自由度系统的自由振动
一. 二自由度系统振动研究的意义
工程中的大量实际问题是不能简化为单自由度系统， 而只能简化为多自由度系统才能充分描述其振动特性。 二自由度系统振动问题具有一定的代表性，我们通过处 理二自由度系统振动问题及实际应用来熟悉多自由度振 动系统。另一方面，二自由度振动理论在实际中广泛的 应用，因此讨论二自由度系统的振动，具有特别重要的 意义。