证
(1) p 1,
1 1 x p dx
1 dx (ln x) lim ln x
1x
1
x
.
(2) p 1,
1
1 xp
dx
x1 p 1 p
1
lim
x
x1 p 1 p
1 1 p
y
1
y x2
p
1
1
,
p
1,
, p 1.
O1
y 1 x
u
x
因此
当p>1时该无穷积分收敛，其值为
曲边梯形"的面积.
解 由于这个图形不是封闭的曲 y 边梯形，而在 x 轴的正方向是开口 的，即这里的区间为[1,+∞).
1 y x2
故u 1, 则对应的曲边梯形面
o
1
ux
积为
A
u 1
1 x2
dx
1 x
u 1
1
1. u
显然当u改变时，曲边梯形的面积也随之改变.
故u 时，lim u
u1
1
1
x2 dx
ln 2
1 tp
dt
,
由上例的结论
得：该无穷积分当 p 1时收敛；而当 p 1时发散.
例4(2)(P266) 计算无穷积分
dx 1 x2 .
解
dx
0 dx
dx
1 x2 1 x2 0 1 x2
第十一章反常积分§1反常积分概念
例 讨论无穷积分 e pxdx 的收敛性. a
解 显然 p = 0 时, dx发散;
当 p ≠ 0 时，
a
e pxdx lim
a
u
u e
a
pxdx
lim
u
e px
p
u a
e ap
lim
u
e pa p
e pu p
p
,
,
p 0, p 0.
注 (i)从本质上说，当无穷积分 f ( x)dx收敛时它是一个 a
数(极限值); 当无穷积分 f ( x)dx发散时它只是一个记号. a
(ii)无穷积分的几何意义
f ( x)dx收敛的几何意义是：若 f ( x)在[ a , )上为非负 a
连续函数，则其值就是介于曲线 y f ( x)，直线 x a 以及 x 轴之 间那一块向右无限延伸的区域的面积.（如图所示）
2h g
R r
2
.
归结为如何计算下列两种类型的积分：
b
(1) f ( x)dx; f ( x)dx; f ( x)dx;
a
(2) b f ( x)dx, 这里f ( x)在 a或 b或 c(c 处于 a与 b之间)无界. a
例
求曲线y
1 x2
第十一章反常积分§1反常积分概念
, x轴及直线x 1的右侧所围成的"开口
1; p1 当p≤1时该无穷积分发散.
注
a 0，无穷积分
a
1 xp
dx当
p
1时收敛；而当
p
1时发散.
第十一章反常积分§1反常积分概念
例4(1)(P266) 讨论无穷积分
P266
＋ 2
1 x(ln x) p
dx的收敛性.
例3解 设 t ln x，则
＋ 1 2 x(ln x) p dx
lim (1 ) 1,
u
u
则所求的“开口曲边梯形”的面积为1.
二 两类反常积分的定义
第十一章反常积分§1反常积分概念
1.无穷积分:无穷区间有三种，分别给出其定义.
(1) [ a , ) 上
定义1(P265) 设函数 f 定义在无穷区间[a,+∞)上，且在任何 有限区间[a,u]上可积，如果存在极限
西南财经大学 省级精品课程
《经济管理数学分析》 课题组版权所有 请勿外传
经济管理数学分析
第十一章 反常积分
§1 反常积分概念 §2 无穷积分的性质与收敛判别 §3 瑕积分念
第十一章反常积分§1反常积分概念
一 问题的提出
定积分
b
a
f
( x)dx
有两个基本条件，即：
R
mgR2 x2
dx
lim mgR2( 1
r
R
1) r
mgR
*例2(P264) 圆柱形桶内壁高为h, 内半径为R,桶底有一半径为
r 的小孔. 试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少
时间？
h
0 r2
R2
dx lim
2g(h x)
uh
2 R2 g r2 ( h
h u)
y
y f (x)
Oa
x
(2) ( , b] 上
第十一章反常积分§1反常积分概念
设函数 f 定义在无穷区间(−∞,b]上，且在任何有限区间[u,b] 上可积，如果存在极限
b
lim f ( x)dx J ,
u u
则称此极限 J 为函数 f 在无穷区间(−∞,b]上的无穷限反常积分(简 称无穷积分)，记作
b
J f ( x)dx,
即
b f ( x)dx lim
b
f ( x)dx
u u
当上述极限存在时，称无穷积分收敛；当极限不存在时，称无穷
积分发散.
(3) ( , )上
第十一章反常积分§1反常积分概念
对于定义在(−∞,+∞)上的无穷积分，如果两个无穷积分
a
f ( x)dx和
f ( x)dx
u
lim f ( x)dx J ,
u a
则称此极限 J 为函数 f 在无穷区间[a,+∞)上的无穷限反常积分(简 称无穷积分)，记作
a f ( x)dx,
即
f ( x)dx lim
u
f ( x)dx
a
u a
当上述极限存在时，称无穷积分收敛；当极限不存在时，称无穷
积分发散.
第十一章反常积分§1反常积分概念
积分区间[a,b]是有限区间，且 f(x) 在[a,b]上是有界函数.
实际应用中往往遇到： (1) 有界函数在无穷区间上的积分; (2) 无界函数在有限区间上的积分.
第十一章反常积分§1反常积分概念
*例1(第二宇宙速度问题,P264) 在地球表面垂直发射火箭.要使
火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度至少要多大？
故原无穷积分当p>0时收敛于 eap , 当p≤0时发散. p
简记公式(补充)：设F( x)是 f ( x)的一个原函数，则
f ( x) dx F ( x) lim F ( x) F (a).
a
a
x
例3(P266)
证明无穷积分
1
1 xp
dx
第十一章反常积分§1反常积分概念
当p>1时收敛,当p≤1时发散.
a
(a为任一实数)都收敛，则称上述两无穷积分之和为函数 f 在无穷区
间(−∞,+∞)上的反常积分(简称无穷积分)，记作
f ( x)dx
即
a
f ( x)dx f ( x)dx f (x)dx
a
lim
a f ( x)dx lim
v
f ( x)dx
u u
v a
注 f ( x)dx 的收敛性与收敛时的值，都与实数a的选取无关.