0 ((x, y) (0,0)).
因此 x y o(). 从而函数 f在点(x0,y0)处可微，且
df y0 x x0 y.
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二 偏导数
偏增量P101 第十七章多元函数微分学§1可微性
定义2(P108) 设函数z f ( x, y)，( x, y) D，且f ( x, y0 )在x0 的某一邻域内有定义，则当极限
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第十七章多元函数微分学§1可微性
例 求函数z x2 3xy y2在点(1, 2)处的偏导数.
解 z 2x 3 y ; 把 y 看成常量 x
z y
3x
2
y
.
把 x 看成常量
z 21 32 8, z 31 22 7. 例2(P109)
x (1,2)
y (1,2)
例 求函数z x2 sin 2 y的偏导数.
lim x z( x0 , y0 ) lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) (7)
x0
x
x0
x
存在时，称这个极限为函数f 在点( x0 , y0 )关于x的偏导数，记为
fx ( x0 ,
y0 )、zx ( x0 ,
y0 )或
f x
( x0 , y0 )
,即
fx ( x0 ,
y x ln x y y
ln x
xy xy
2z.
原结论成立．
例3( P110)
11
第十七章多元函数微分学§1可微性
偏导数的概念可以推广到二元以上函数.
例如，u f (x, y, z), 在 ( x, y, z) 处，
f x ( x,
y, z)
lim
x0
f (x x,
y, z)
x
f (x,
y, z) ,
f y ( x,
y, z)
lim
y0
f (x,
y y, z) y
f (x,
y, z) ,
f (x, y, z z) f (x, y, z)
fz
(
x,
y,
z)
lim
z0
z
.
12
(3)
(ii)有时(1)可以写成如下形式
z Ax B y x y
(4)
其中 lim lim 0.
( x, y)(0,0)
( x, y)(0,0)
因为 x y 0 ((x, y) (0,0)).
(iii)(补充) 二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处可微则必在点(x0,y0)处连 续.
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1
经济管理数学分析
第十七章 多元函数微分学
§1 可微性 §2 复合函数微分法 §3 方向导数与梯度 §4 泰勒公式与极值问题
2
第十七章 多元函数微分学
§1 可微性
3
第十七章多元函数微分学§1可微性
一 可微性与全微分
定义1(P107) 设函数 z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域U(P0)内有
y0
y
( x0 , y0 )
7
第十七章多元函数微分学§1可微性
注(P108) (i)这里符号 ， 专用于偏导数算符，与一元函 x y
数 d 相仿，但又有差别； dx (ii)在上定义中，f ( x, y)在点( x0 , y0 )存在关于x(或y)的偏导数，
f ( x, y)至少在{( x, y) | y y0 ,| x x0 | }(或{( x, y) | x x0 ,| y y0 | }上有定义.
线性函数A△x+ B△y为函数 f 在点P0的全微分，记为dz，即
dz|P0=df (x0,y0)= A△x+ B△y .
(2)
4
第十七章多元函数微分学§1可微性
注 (i)由(1)、(2)式可见dz是△z的线性主部，特别当|△x|、|△y|
充分小时，全微分dz可作为全增量△z的近似值，即
f ( x, y) f ( x0 , y0 ) A( x x0 ) B( y y0 ).
y0 )=
zx ( x0 ,
y0 )
f x
( x0 , y0 )
lim
x0
f ( x0
x, y0 ) x
f ( x0 , y0 ) .
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处关于y的偏导数为
f f y ( x0 , y0 ) zy ( x0 , y0 ) y
= lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) .
解
z x
2xsin2 y;
把 y 看成常量
z y
2
x2
cos2
y
.
把
x
看成常量
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例3( P110)
第十七章多元函数微分学§1可微性
设z x y ( x 0, x 1),求证 x z 1 z 2z. y x ln x y
证
z y x y1 , x
z x y ln x, y
x z 1 z x yx y1 1 x y ln x
x，z
x或
f x
f y，zy或
f y
.
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第十七章多元函数微分学§1可微性
由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的微分法 问题.
求 f 时，只要把 x 之外的其他自变量暂时看成常量，对 x
x 求导数即可; 求 f 时，只要把 y 之外的其他自变量暂时看成常量，对 y
y 求导数即可. 其它情况类似.
(iii)若函数z f ( x, y)在区域D上的每一点( x, y)都存在对x(或
y)的偏导数，则得到函数z f ( x, y)在区域D上对x(或y)的偏导函
数(简称偏导数). 记作：
f
x
(
x,
y)，z
x
(
x,
y)或
f
( x, x
y)
f y ( x,
y)，z y或
f
( x, y
y)
,
也可简单记为f
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第十七章多元函数微分学§1可微性
例1(P107) 考察函数 f(x,y) = xy 在点(x0,y0)处的可微性. 解 在点(x0,y0)处函数 f 的全增量为
f ( x0 ,x x0 y x y.
由于
x y
x y
定义，对于U(P0)中的点P(x,y)=(x0+△x,y0+△y)，若函数f(x,y)在点
P0处的全增量△z可表为：
△z = f (x0+△x,y0+△y)－f(x0,y0)
= A△x+ B△y+o(ρ)
(1)
其中A,B仅与点P0有关的常数， (x)2 ( y)2，o(ρ)是ρ的高
阶无穷小，则称函数 f 在点P0可微. 并称(1)式中关于△x, △y的