当x=x(t)严格单调时，则由该参变量函数及直线x=a，x=b和x轴 所围成曲边梯形的面积
A y dx y[ x ( x )] dx y( t ) x( t )dt .
1 a a
b
b


注：教材(P240)上的公式.
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积
例2( P 240) 求由摆线x a( t sin t ), y a(1 cos t )(a 0)的一 拱与x轴所围平面图形的面积.
2
a
0

0
2
ab.
注：教材(P241)上的求法.


4
, 据P 226例5
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积
四 极坐标系下平面图形面积的计算 设由曲线 r = r(θ )及射线θ =α 、 面积 微元
r r ( )
θ =β 围成一曲边扇形，求其面积.
这里， r(θ )在[a,b]上连续，且r(θ )>0．
a
x
d A f ( x )dx
A( x ) A
O
A dA f ( x )dx
a
n
x x xb
x 其中A f ( x )dx o(x ) (x 0)
b a
由 A Ai f ( x )dx , 于是 A lim f ( x)dx f ( x )dx.
由图形的对称性及公式(5)，得到

A 4 A1 4
4
0
1 2 2 a cos 2 d a sin 2 2

4
0
a2 .
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积
习题：P242§1习题1-10题，其中部分习题的图形如下：
习题5(a=1): 习题6(a=1):
习题7(a,b=1):
O x=ψ(y) c
dA = [φ(y)–ψ(y)]dy.
则平面图形D的面积为
A [ ( y ) ( y )]dy.
c
d
例1( P 239) 计算由曲线y 2 x和直线y x 4所围成的图形 的面积.
2
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积
解 为了求出面积, 一般先划出两条曲线所围成的图形.
三 参数方程下求图形面积(P240) 如果曲边梯形的曲边为参变量函数
x x( t ), t [ , ], y y( t ), 其中 和 对应曲线起点与终点的参数值，在[ , ](或[ , ])上 x x( t )连续可微，y y(t )连续, 且x(t ) 0, 记a x( ), b x( ).
A f ( x )dx .
a
ห้องสมุดไป่ตู้
b
数学上将这种思想方法称之为微元法. 总量A的微分dA=ƒ(x)dx 称为总量A 的积分微元.
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积
二 直角坐标系下平面图形面积的计算 1. 若平面图形 D 被夹在直线 x = a与x = b之间，且其上下边
界的方程分别为 y = ƒ(x)和 y = g(x). 分析: 对任意的x∈[a,b]，作垂直于x轴的直线穿区域D，则
(1,1) y x y x
2
y x2
即这两条抛物线的交点为 (0, 0) 及(1, 1).
O
dA
x x+dx 1 x
从而知道这图形在直线 x = 0 及 x = 1 之间. 取 x 为积分变量, 且 x ∈[0,1], 微元为 dA ( x x 2 )dx,
1
2 x 1 则 A ( x x )dx x . 0 3 0 3 3
1 2
3 2 3
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积
2. 若平面图形 D 被夹在直线 y = c 与 y = d 之间，且其左右
边界的方程分别为x =φ(y) 及x =ψ(y) . 分析: 对任意的y∈[c,d]，作垂直于y 轴的直线穿区域D，则
y d y+dy y dA x=φ(y) x
以dy为底，φ(y)–ψ(y)为高的小窄矩形 面积微元
计算由两条抛物线: y 2 x, y x 2 所围成图形的面积.
为了求出面积，一般先画出两条曲线所围成的图形.
y
为了定出图形的所在范围, 应先求出这
两条抛物线的交点，为此,
y 2 x, x 0, x 1, 解方程组 2 y x , y 0, y 1.
从而知道这图形在直线 y = −2 及 y = 4 之间. 1 2 取 y 为积分变量,且 y ∈[−2,4], 微元为 dA ( y 4) y dy 2 4 4 1 2 1 2 1 3 则 A ( y 4 y )dy y 4 y y 18. 2 2 6 2 2
y
y f ( x)
以dx为底，ƒ(x) – g(x)为高的小矩形 dA
面积微元 dA = [ƒ(x) – g(x)]dx.
x
y g( x )
o
a
x x dx b
则平面图形D的面积为
A [ f ( x ) g( x )]dx .
a
b
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积
例
解
为了定出图形的所在范围，应先求 出抛物线和直线的交点，为此,
y
4 y+dy y (8,4)
y2 2 x x 2 x 8 解方程组 , y x 4 y 2 y 4 即这两条抛物线的交点为 (2, −2) 及 (8, 4).
O
–2 –4
y=x–4 (x=y+4) x 2 y 2x (2,– 2) 1 2 x y 2 dA
解
x2 y2 求椭圆 2 2 1的面积. a b
椭圆的参变量函数为
x a cos t , t [0, 2 ]. y b sin t ,
由对称性知总面积等于4倍第 一象限部分面积．
2 A 4 ydx 4 b sin t ( a sin t )dt 4ab 0 sin tdt
1 面积微元 dA [r ( )]2 d 2

d
曲边扇形的面积

O

x
A


1 [r ( )]2 d . 2
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积
例4(P242) 求双纽线 r 2 a 2 cos 2 所围平面图形的面积.
y x
A1
2 a 2 cos 2
3 5 解 因为 r2 ≥ 0 ， 所以θ 的取值范围为 4 , 4 与 4 , 4 .
t a
O
2a
解
摆线的一拱可取t∈[0,2π]. 所求面积为
A y( t ) x( t )dt


a(1 cos t )[a(t sin t )]dt
0
2
a
2

2
0
(1 cos t )2dt 3 a 2 .
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积
例3( P 241)
可以应用定积分计算的量有如下特点:
(1) 不均匀变化的整体量 A依赖于自变量 x 的某个区间[a, b];
( 2)具有可加性， 即 A Ai ;
i 1
n
(3)部分量Ai可“以不变代变”求得近似值 Ai f (i ) xi .
y
y f ( x)
A( x ) f (t )dt A( x ) f ( x )
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经济管理数学分析
第十章
定积分的应用
§1 平面图形的面积 §2 由平行截面面积求体积 §3 平面曲线的弧长 §4 定积分在经济分析中的应用(补充)
第十章
定积分的应用
§1 平面图形的面积
一 微元法(P253)
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积
i 1
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积
抛开 A 的具体含义，把这种思想加以抽象，就得到微元法思
想的表述: 若总量与变量 x 的变化区间[a,b]有关，且对区间具有可加性， 即整个区间上的总量等于各子区间上相应分量之和； 在区间[x , x+dx] 上对应分量的近似值为ƒ(x)dx，则有 dA=ƒ(x)dx， 且总量为
习题8:
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积
思考: 若选 x 为积分变量，应该如何做?
y
(8,4)
解法2 A A1 A2
[ 2 x ( 2 x )]dx
0
2
O
–4
2 (2,–2)
8x
[ 2 x ( x 4)]dx
2
8
=18.
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积