dx f ( x , y ) dy dy f ( x , y ) dx
c c a
d
d
b
第二十一章重积分§2直角坐标系下二重积分的计算
例 计算 I ( x 2 y 2 1)dxdy，其中D为矩形 :[1,1] [2, 2].
2 2 1 3 2 2 解 I dx ( x y 1)dy 1 x y y y dx 1 2 3 2 1 28 64 2 4 x dx . 1 3 3 1 2 1 2 1 3 2 2 2 或者 I dy ( x y 1)dx 2 x y x x dy 2 1 1 3 2 8 64 2 2 y dy . 例1(P219) 2 3 3
D1
D2
D3
f ( x, y )d f ( x, y )d f ( x, y )d f ( x , y )d
D D1 D2 D3
例3( P 221) 计算二重积分 d , 其中D由直线y 2 x , x 2 y及
D
第二十一章重积分§2直角坐标系下二重积分的计算
二 一般区域上二重积分的计算
1. x型区域上二重积分的计算 区域 D { ( x, y) | y1 ( x ) y y2 ( x ), a x b }
y y y ( x) 2 D
y y1 ( x )
称为 x 型区域 定理 21.10(P220) 设 f (x,y)在 x型区域
1
D 2
1
推论(补充) 设φ(x)在[a,b]上可积，ψ(y)在[c,d]上可积，则乘积 函数 f (x,y) = φ(x) .ψ(y) 在 D = [a,b]×[c,d] 上也可积，且
f ( x, y )dxdy
D
b a
( x )dx ( y )dy .
c
d
第二十一章重积分§2直角坐标系下二重积分的计算
第二十一章重积分§2直角坐标系下二重积分的计算
例 求 ( x 2 y )dxdy，其中D是由抛物线y x 2和x y 2所围
D
平面闭区域.
y x 2， 解 两曲线的交点由 得(0, 0)， (1,1). 2 x y ，
2 ( x y )dxdy D
x y2
D 上连续，y1(x) , y2(x) 在[a,b]上连续，则
o a
b x
f ( x, y )d x d y
D
b a
d x y ( x ) f ( x , y ) d y
1
y2 ( x )
称之为先对y后对x的累次积分.
第二十一章重积分§2直角坐标系下二重积分的计算
2. y型区域上二重积分的计算 区域
对每个 y∈[c,d]，积分

d c
b a
f ( x , y )dx 存在，则累次积分
b a

也存在，且
D
dy f ( x , y )dx
d c
f ( x, y)d
f ( x, y) d
D b a
dy f ( x , y )dx.
a
b
特别地，当 f (x,y) 在矩形区域 D=[a,b]×[c,d]上连续时，有
dx 2 e dy
x
x
y x
1 x(e e x )dx
2
1
3 1 e e. 8 2
第二十一章重积分§2直角坐标系下二重积分的计算
习题：P222§2习题 1-3题
第二十一章重积分§2直角坐标系下二重积分的计算
备例 改变累次积分 dx
0
1
1 x
0
f ( x, y )dy的次序.
对每个 x∈[a,b]，积分 c f ( x , y )dy 存在，则累次积分
d
也存在，且

b a
dx f ( x , y )dy
c
b a d
d
f ( x, y)d
D
dx f ( x , y )dy.
c
第二十一章重积分§2直角坐标系下二重积分的计算
定理 21.9(P219) 设f (x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]上可积，且
x y 3所围的三角形区域.
解
联立边界曲线方程求解，得交点
(0, 0), (1, 2),(2,1).
当把D看作x型区域时，相应的
2 x, 0 x 1, x y2 ( x ) y1 ( x ) . 2 3 x,1 x 2,
所以
d d d
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第二十一章 重积分
§2 直角坐标系下二重积分的计算
第二十一章重积分§2直角坐标系下二重积分的计算
一 矩形区域D=[a,b]×[c,d]上二重积分的计算
定理 21.8(P218) 设f (x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]上可积，且
y x2
dx
0
1
1
x x2
( x 2 y)dy
x 1 2 2 x y y dx 0 2 x2 1 1 33 2 2 4 [ x ( x x ) ( x x )]dx . 0 2 140
第二十一章重积分§2直角坐标系下二重积分的计算
y
dx 0
1
1 3 y2 y e dy 3
1 1 . 6 3e
第二十一章重积分§2直角坐标系下二重积分的计算
x型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与 区域边界相交不多于两个交点. y型区域的特点：穿过区域且平行于 x 轴的直线与 区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图，则必须分割. 在分割后的三个区域上分别使用 积分公式(P220图21-6)
解
y 1 x
积分区域如图
1 1 y 0 0
原式 dy
f ( x, y )dx.
备例 的次序.
改变累次积分 dx
0
1
2 x x2
0
f ( x , y )dy dx
1
2
2 x
0
f ( x , y )dy
y 2 x
解
积分区域如图
1 2 y 1 1 y 2
y D
x x2 ( y )
D { ( x, y) | x1 ( y) x x2 ( y), c y d } d
称为y型区域. 若 D 为y型区域，则
o
c
x x1 ( y )
x

d c
d y
x2 ( y ) x1 ( y )
f ( x , y )d x .
称之角坐标系下二重积分的计算
例 计算积分I 1 dy 1 e dx 1 dy
y x
4 2 2
1 2
y
y x
1
y y
e dx .
y x
解 由于 e dx 不能用初等函数表示，
所以先改变积分次序， 作出积分区域的草 图， 所以
I
y x
y x2

1
1 2
D
1
D1
D2
0
dx x dy dx x dy
2 1 2
2x
2
3 x
2 x x 2 x dx 3 x dx 0 1 2 2 1
3 3 2 3 2 x 3x x . 4 1 2 4 0
例2( P 221) 求 x e
D
2 y2
dxdy，其中D是以(0, 0),(1,1),( 0,1)为顶
点的三角形.
解 由于 e
y2
dy 无法用初等函数表示，所
以不能用x型区域下的累次积分计算该二重积分.
x e
D
2 y2
dxdy
2 y2
dy x e
0 0
1
y 2x x2
原式 dy
0
f ( x, y)dx.