由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，
当
b x 2a
时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大）值
4ac b 2 y ． 4a
探究问题
用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化．当 l 是多少米时，场地 的面积 S 最大？ 解： S l (30 l ) ， l 2 整理后得 S l 30l（0＜l＜30）． 思考：(1)你是 b 30 ∴ 当l 15 时， 如何确定自变量 2a 2 （1） l的取值范围的？ 2 4ac b 225 ． S 有最大值为 (2)当矩形面积 4a 当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大． 最大时，又是哪 种特殊的四边形？
22.3 实际问题与二次函数 （第1课时）
利用抛物线的最值解决几何图形的最大面积问题。
学习目标： 能够表示实际问题中变量之间的二次函数关系， 会运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最 大值（或最小值）． 学习重点： 探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决 实际问题的方法．

回顾旧知
如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？
拓展
分别用定长为l的线段围成矩形和圆，哪种图形 2 x x x _______ __________ __， 2 2
l - 2x 解：设矩形的长为 x，则宽为______ ，面积为S。 2
∵S
x
l l2 02 l l 当x - 2 时，矩形有最大面积 4 . -2 4 4 16 l ∵圆周长l 2R， 半径R ，其面积为S R 2 2 l2 l2 l2 l2 2 . ∵ ， 圆的面积最大 . 4 4 4 16
1．由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高） 点，当 b x 2a 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值 4ac b 2 y ． 4a 2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际 意义，确定自变量的取值范围. 3．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大 值或最小值.
1 S a 2 4 x(a x) a 2 2 x(a x) 2 x 2 2ax a 2 2
G
C
F
3
B
a 为常数a，则由题意易知 △AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，故有 DH=AE=x，AH=a－x，∴正方形EFGH的面积S是 ∴当x=
2a a 4 2
变式： 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一 边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅 栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为xm，绿化 带的面积为ym2． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出 自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，满足条件的绿 化带的面积最大． 解：（1）由题意得：
达标训练
用长为8米的铝合金条制成如图形状的矩 形窗框，使窗户的透光面积最大，那么窗 户的最大透光面积是 平方米．
2.如图，英华学校准备围成一个 中间隔有一道篱笆的长方形花圃， 现有长为24m的篱笆，一面靠墙 x （墙长为10 m），设花圃宽AB 为x（m），面积为S(m2)． （1）求S与x的函数关系式； 2的花圃，AB的长是多少； （2）如果要围成面积为45 14 m x 8 3 （3）能围出比45 m2更大的花圃吗？若能，求出最大 的面积；若不能，请说明理由．
解:(1)由题意，得S=x(24－3x)=－3x2+24x ，
(2)由S=-3x2+24x=45，即x2－8x＋45=0.解得 x1=5,x2=3（不合题意，舍去）. ∴AB的长为5m.
xm
自变量x的取值范围是0＜x≤25 .
(2)
1 2 1 y x 20 x ( x 20) 2 200 . 2 2
x
y (m2)
倘若墙AD的 长为10m呢？
200
O
20
25
x (m)
综合运用
如图，点E，F，G，H分别位于 D 正方形ABCD的四条边上.四边形 H EFGH也是正方形.当点E位于何 处时，正方形EFGH的面积最小？ 1 （课本P52页第7题） 2 A x E 解:设AE=x，正方形ABCD的边长
时，正方形EFGH的面积最小 此时点E为AB的中点.
拓展
2013淄博中考压轴题：矩形纸片ABCD中，AB=5， AD=4. （1）如图1，四边形MNEF是在矩形纸片 ABCD中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中 裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？ 说明理由；
4-x
x 4-x
总结归纳