牵连运动为转动时点的加速度合成定理一、教学设计教学标题：牵连运动为转动时点的加速度合成定理教学目的：掌握牵连运动为转动时点的加速度合成定理及其应用；掌握科氏加速度的概念及计算方法，理解其产生的原因；巩固刚体定轴转动时角速度和角加速度以及刚体内各点速度和加速度的矢量表示法。

培养学生的逻辑思维能力及发现问题、思考问题、灵活应用所学解决生产实践中和生活中类似的力学现象和问题的能力。

教学设想：课程开始时提出身边一些有趣的现象引发同学们学习的兴趣，课程最后再列举种种自然界和工程中的现象促进学生的思考，激发学生对科学探索的热情并和学生一起应用新学知识讨论分析问题。

希望借此培养学生对科学的热爱，因为“热爱是最好的老师”；培养学生发现问题、思考问题、应用所学解决问题的能力。

这是本节课程安排的两个兴奋点。

定理的证明和分析产生科氏加速度的原因是学生学习中的难点，故教学时注意分散难点，增强思维的逻辑性，使内容在逻辑上环环相扣，步步深入，学生较易理解和接受。

比如先提出问题：平动时点的加速度合成定理是否适用于转动的情况？通过例题给出结论，再从运动学角度产生科氏加速度的原因，后用数学的矢量法进行更严密地推证。

考虑到学生可能认为这门课程太抽象，不能和生产实际联系起来，不知道用处何在。

所以可以专门就本节内容安排了一个小论文，有兴趣的同学可以独立完成，也可以自由组合完成，内容体裁自定。

并在期末专门安排时间让同学上台做研究报告。

希望能培养学生收集资料、整理资料、从中提取有用信息和撰写科研论文的能力；培养学生们团结合作的团队精神以及交流表达能力。

教学环节：1.通过列举自然界和生活中的几个现象切入本堂课的主题并简单介绍基本内容；2.明确地提出问题：动系为转动和平动时是否有同样的加速度合成定理？用一个简单的例子说明牵连运动为平动时的加速度合成定理不再适用于转动的情况；3.分析科氏加速度产生的原因和解释它的物理意义；4.用矢量法推导加速度合成定理；5.讨论不同情况下科氏加速度的计算；6.应用科氏加速度解释前面列举的现象，再简单介绍科氏加速度的发现和在自然科学中的应用说明科氏加速度的存在及其影响；7.总结本堂课的基本内容；8.布置作业。

教学过程：科学研究需要一双发现的眼睛，一颗好奇的心和一个勤于思考的大脑。

2000年诺贝尔化学奖得主白川英树在清华大学的座谈会上说：“对不起，但是我真的不知道我为什么能够获得诺贝尔奖。

但是我能够确信的是，我对于大自然非常感兴趣。

”。

好奇心！伟大的牛顿对苹果落地的思考，使我们有了万有引力定律，在我们的身边就有很多有趣的现象值得我们思考。

每一位同学们都看着你们前面同学的后脑，你们发现了什么？很多同学的发旋是顺时针的吧？为什么？为什么大部分人吃饭、写字都用右手，98％的人右手和右脚的主动性和活动性要强于左手和左脚。

人类的这种单侧优势，或者说是脊椎动物的单侧优势现象是什么造成的？树林里，花园中为什么大量的攀援植物是逆时针缠绕的？祖国山川秀丽，河流资源丰富，你们发现河床的右岸比左岸冲刷严重吗？ 你思考过这些看似简单的问题吗？它们都和我们今天的学习主题：牵连运动为转动时点的加速度合成定理关系密切。

今天我们将用矢量法推导这个定理；并学习一个新的概念：科氏加速度的概念；分析产生它的原因、阐述它的物理意义；学习怎样计算它的大小、判断它的方向，最后我们要用今天所学的知识来分析讨论上面提到的各种现象及更多的自然现象。

一、问题的提出那么，当动系为转动时，加速度合成定理e r a a a a +=式还适用吗？请让我们先看下面的例子：半径为r 的圆盘绕中心O 以匀角速度ω逆时针转动。

圆盘内有一动点M ，以相对速度r v 沿边缘作勻速圆周运动。

将动系固结于圆盘，先进行速度分析。

1．速度分析动点的牵连速度ωr v e =,方向沿圆周切线方向，应用点的速度合成定理:e r a v v v +=动点的绝对速度大小为：const r v v r a =+=ω方向与牵连速度一致。

可见，动点的绝对运动是沿园周逆时针方向的匀速圆周运动。

2．加速度分析点的相对运动为匀速圆周运动，相对加速度方向指向圆心，大小为：rv a a r nr r 2== 点的牵连加速度是圆盘上与动点重合点的加速度，方向指向圆心，大小为：2ωr a a n e e ==根据牵连运动为平动时点的加速度合成定理：e r a a a a +=点的绝对加速度大小为：22ωr rv a r a += （1） 方向同牵连加速度的方向。

我们再根据绝对速度来计算绝对加速度，其大小为：：()r r r a a v r rv r r v r v a ωωω22222++=+== （2） 方向指向圆心。

比较而1）和2），可见：r e r r e a a a v a a a +≠++=ω2这就说明了牵连运动为平动时的加速度合成定理对转动的情况不再成立。

2）式多出来的一项r v ω2，我们称它为科氏加速度。

那么科氏加速度是怎样产生的呢？二、科氏加速度产生的原因以下面一个简单的例子从运动学角度来说明。

动点沿直杆OX 运动，而杆又绕O 轴转动。

动系固结于杆上。

在瞬时t ，动点在M 处，它的相对速度和牵连速度分别是r v 和e v 。

经过Δt 后，杆转动到OX ， 位置，动点移动到M 1，这时它的相对速度和牵连速度分别是1r v 和1e v 。

作为出速度的矢量图，可知速度的变化为：,,,1r r r r r v v v v v ∆+∆=-=∆,,,1e e e e e v v v v v ∆+∆=-=∆式中，,r v ∆表示相对速度大小的改变量，,,r v ∆表示由于牵连运动为转动引起的相对速度方向的改变量，,e v ∆表示牵连速度方向的改变量，,,e v ∆表示相对运动引起的牵连速度大小的改变量。

上面每一项的物理意义可说明如下:r r t a tv =∆∆→∆,0lim 表明相对速度本身改变的加速度,即动点的相对加速度。

2,0lim ω⋅===∆∆→∆OM a a tv e en e t 表明牵连速度方向改变的加速度，即牵连加速度（动系匀速转动，固牵连切向加速度为零）。

r r r t v v dtd t v ωϕ==∆∆→∆,,0lim 表明动系为转动使相对速度方向改变的加速度，这是科氏加速度的一部分。

r t e e t e t v tmM t v v t v ωω=∆=∆-=∆∆→∆→∆→∆1010,,0lim lim lim 这是由于相对速度的存在使牵连速度的大小发生改变的加速度，这是科氏加速度的另一部分。

由此可见，科氏加速度生成的原因是由于动系为转动时，导致了两方面的影响，一是牵连运动对相对速度的影响，它改变了相对速度的方向；二是相对运动对牵连速度的影响，它改变了牵连速度的大小。

三、 证明接下来我们来推导牵连运动为转动时点的加速度合成定理。

这个推导过程充分体现了理论力学课程的特点：严密的逻辑性，概念性很强。

当你真正完成了全部的过程，你会发现这个证明过程非常优美，定能体验到逻辑之美带给你的快乐，沉醉其中。

下面我们就一起来欣赏这个逻辑美吧！这是动系为转动时动点的矢量图。

图中M为动点，静系OXYZ ，动系O ’X ’Y ’Z ’。

设动系绕Z 轴转动，角速度矢量ω，角加速度矢量ε。

动点相对于静系的绝对矢径为r ，动点相对于动系的相对矢径为,r ，动系相对于静系的矢径为,o r 。

相对矢径： ,,,,,,,k z j y i x r ++= 根据点的速度合成定理：e r a v v v+= 有：dt v d dt v d dt v d r e a += （3） 先考虑右边第一项：()dtr d r dt d dt r d dt dv e ⨯+⨯=⨯=ωωω ()r e a v v r v r +⨯+⨯=⨯+⨯=ωεωεr n e e v a a ⨯++=ωτr e e v a dtdv ⨯+=ω （4） 再考虑右边第二项，首先，相对速度可表示为：',,,',k dtdz j dt dy i dt dx v r ++= 将其对时间求一阶导数有：dt i d dt dx k dt z d j dt y d i dt x d dt v d r ,,'2,2,2,2'2,2 ⨯+++=dtk d dt dz dt j d dt dy ,,,, ⨯+⨯+ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯+=,,,,,,k dt dz j dt dy i dt dx a r ω r r r v a dtv d ⨯+=ω （5） 4）+5）代入3），有：r r e a v a a a ⨯++=ω2令 r cv a ⨯=ω2 （6）那么：c r e a a a a a ++= （7）四、对科氏加速度的讨论1．大小和方向的确定根据矢积运算规则，c a的大小为 θωsin 2r c v a = （8）θ是ω与r v 两矢量间的最小夹角。

c a 的方向垂直于ω 和r v ，指向按右手法则确定。

2．0=c a 的条件1）牵连运动为平动或0=ω2）0=r v 时（物体静止或相对静止）3）ω ∥r v ，(赤道上 0=c a )3．ω⊥r v 时，r c v a ω2=有最大值，如地球的南北极点。

在工程上常见的平面机构中, ω与r v 是垂直的，此时r c v a ω2=，其方向由r v 按ω 转向转动90˚即可。

五、应用举例如果我们左手拿一个球缓慢做定轴转动，右手拿笔笔直画条线。

同学们，我们看到自己画的是直线，可球上画出的却是曲线。

假想这个球就是我们的地球，那么，同样的问题出现在由北往南发射的洲际导弹上，地球上的人观察到导弹向西偏转，但地球外的观察者，看到导弹却向正南方飞行！也就是说，在静止参考系中直线的运动，对旋转参考系上（地球，旋转的球）的观测者来说似乎变得弯曲了。

首先发现这一偏转效应的是法国物理学家科里奥利，时间是1835年。

偏转效应的本质是由于地球的自转。

地球上物体相对于地球运动，都是牵连运动为转动的合成运动，由此产生了科氏加速度，从而引起运动物体的偏转。

于是我们假想有一个这样的力可以用来解释这种偏转现象，这个力与科氏加速度的方向相反，被命名为科里奥利力，简称科氏力。

那么，在地球上看相对地球运动的物体都受科氏力作用。

物体受到科氏力的方向总是垂直于物体的运动速度，在北半球指向物体运动方向的右侧，在南半球指向物体的左侧。

由此而来，我们前面提到的各种现象就可以来分析讨论了。

从古至今，世界上对于单侧优势的形成原因，其实没有一个统一的说法，我们是否可以大胆假设是科氏力诱导的结果呢？ 前面提到的种种生物现象是否也是科氏力的影响呢？你的看法呢？大自然中还有很多类似的例子。

向海流的运动也受到科氏力的影响，在地球北半球，海流偏转的方向向右；而在地球南半球，海流偏转的方向却向左。