一、计算 （1）)]11ln([lim 2x x x x +-∞→ （3）dx e
x ⎰+∞-0)2
1,min(
（2）设变换方程⎩
⎨⎧+=-=ay x v y x u 2可把222226y z y x z x z ∂∂-∂∂∂+∂∂=0简化为02=∂∂∂v u z ，求常数a 。

二、将函数⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧≤≤≤≤+=ππππx x x x f 20202)(展开正弦级数，并指出该正弦级数的和函数。

三、求在椭球面),,(1222222+
∈=++R c b a c z b y a x
内嵌入的有最大体积的各棱平行于坐标轴的直角平行六面体的体积 四、证明曲线积分dy x y x y x y dx x y x y L )cos _(sin )cos 1(22+-
⎰在右半平面内与积分路径无
关，并当L 的起点为),1(π，终点为),2(π时计算此积分。

五、求积分
,)1(22d x d y z y z d z d x a z x d y d z ⎰⎰∑-+-其中∑为yoz 面上的曲线y e z =)0(a y ≤≤绕z 轴旋转所得的曲面的下侧。

六、设函数),(y x f 在2R 上有连续的偏导数，问函数⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>≤=≥⎰⎰∞+-0)sin (0)),(()(0sin x dt t t e dx d x dy y x f dx d x g xt x
x 在哪些间断点处连续？若有间断点，请指出其类型并说明理由。

七、设)(x f 为].0[∞+上恒
取正值的连续函数，且当
令时,1
)(22x x f x ≥≥)
0()()(0
0>=⎰
⎰∞++∞x dt t f dt t tf x ）（ϕ，证明对任意），在（）（方程∞+=+∞∈0),,0(c x c ϕ上有唯一解。

八、设函数)(x f 在区间],[h x x +上连续且二次可微，证明存在)1,0(∈θ，使得
)(4)2(2)()(2
h x f h h
x f x f h x f n θ+++=++。