几个方面去思考、分析? (学生回答) 设计意图：引导学生确定研究复数向量表
示的方案．
【小组研究学习】 (教师活动)将全班划分为10个小组，在各
小组内进行．引导学生自主探究，巡视 学生探索过程，了解学生的进展情况．
(学生活动)学生自主探究，合作学习，交 流研究方法和研究成果，各组组内展开讨 论，提出方法并自主探索复数向量表示的运 算方法．(详细过程略)
[字幕]例2 向量OA 表示的复数为3+2i，
将向量 OA向上平移3个单位长度再向左平移
2个单位长度，得到向量 OA ，分别写出：
(1)向量OA 对应的复数；(2)点O’对应的复
数；(3)向量OA对应的复数．
[分析]根据复数向量表示的意义及平移知 识，一个复数对应的向量在复平面内平移， 只要不改变方向和模的长，它们表示同一 个复数；而模长不变、方向与原来相反， 则对应的复数是原向量对应的复数的相反 数． 解如图所示，O为原点， 点A的坐标为(3，2)，向 上平移3个单位长度再向 左平移2个单位后，点O’ 的坐标为(一2，3)．点A’ 的坐标为(1，5)，坐标平
重点难点分析
教学重点：复数的向量表示和三角表示、 复数的开平方运算．
教学难点：复数与二维向量一一对应的实
质和向量 o z与 o z 的长度r以及 o z 与x
轴的夹角θ组成的有序实数对(r， θ)一一对 应的实质．
第一课时 一、导入新课 (教师活动)复习提问，并讲述． (学生活动)思考、回答问题． 问题1什么叫复数的代数表示形式? 问题2复数集C和复平面内所有的点所组成的 集合有何对应关系?
【班级讨论研究】 (教师活动)要求各小组简述解决方案以
及解决的思维过程并展示研究结果，总结 学生研究结果．
(学生活动)小组代表简述解决方案以及 解决的思维过程．投影研究结果。
【学生简述、展示研究结果】(略)
[字幕]设复平面内的点Z(a，b)表示复数
z=a+bi，连结OZ．则：
①向量OZ 由点Z唯一确定，点Z由向量 OZ 唯一确定．OZ 就是复数z=a+bi的向 量表示．复数0用 O 表示．
4．4研究性学习课题：
复数与平面向量、三角函数的联系 第一课时
教学目标 1．知识目标：理解复数的向量表示和三角
表示，了解复数的开平方． 2．能力目标：培养学生勇于质疑和善于
反思的习惯；培养学生发现、提出、解决数
学问题的能力；培养学生的创新意识和实践 能力．
3．情感、价值观目标：了解数学概念和 结论的产生过程，体验数学研究的过程和创
移不改变OA 的方向和模 (1)向量OA对应的复数为3十2i；
(2)点O’对应的复数为-2+3i；
(3)向量AO 对应的复数为-3-2i． [点评]根据复平面内向量平移的不变性，
我们可以把起点不在原点的向量移到原
点，使许多问题的求解变得简单．
[字幕]例3设z=a+bi(a，b∈R)满足I I z l-4 l+l z I-4=0，且a≥1，b≥-1，画出复数2所对应的 点的集合的图形．
解因为l l z l-4 l+l z I-4=0，所 以I I z I-4 I=-(l z I-4)．又由l z-4 l∈R， 且根据实数绝对值的性质，知l zl4≤0．
(教师活动)打出字幕(例题)，分析解题思
路，完成解答，并点评．
(学生活动)思考，与教师一道分析，尝
试完成例题解答．
[字幕]例1求复数z1=3+4i及z2
的模，并且比较它们的模的大小．
1 2
2i
解： lz1l 32 42 5,
lz2l
(- 1)2 ( 2
2)2 3 . 2
因为5>3/2，所以l zl>lz2l．
数学中不同事物之间的相互表示一般应遵循 哪些原则?引导学生确定研究方案．
(学生活动)确定研究复数向量表示的内容 及方案．
[字幕]向量的坐标表示遵循了下列原则：
(1)向量 a xi yj 与有序实数对(x，y)
存在一一对应关系； (2)平面向量坐标运算的合理性． [提问]我们研究复数的向量表示，要从哪
造的激情，学会与他人交流合作，建立严谨 的科学态度和不怕困难的科学精神．
以上三个目标是从以下三个方面确定的： ①根据教材内容及新大纲的教学要求，确
定第一个教学目标． ②由于本节是研究性学习课题，有助于学
生提高发现、提出、解决数学问题的能 力，发挥自己的想象力和创新精神，故此确 定第二教学目标．
③在研究性学习活动中，有助于学生初步 了解数学概念和结论产生的过程，初步理 解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究过 程，体验创造的激情，由此确定第三个教学 目标．
a+bi的模，记作l z l或Ia+bi I或r．则
l Zl la bil lOZl r a2 b2
④用向量 OZ 与x轴的夹角(以轴的非负半
轴Ox为始边)表示复数Z=a+bi的方向，
则 cosθ a,sinθ b, tanθb ，其中θ的取值
范围是
(
r
,学会应用】
问题3在直角坐标系中，平面向量以ai bj
如何用坐标表示?通过向量的坐标表示，你 对复数的表示有何想法?
[讲述]我们学习了复数可用代数表示， 刚才同学们也想到了复数有可能用向量 表示，本节课我们研究复数的向量表 示．
设计意图：复习已学知识，为本节课 学习做知识铺垫，引导学生提出研究课 题．
二、新课讲授 【确定研究方案】 (教师活动)以向量的坐标表示为例，分析
[分析]在复平面内要确立一个复数对应的 点的集合，必须找到其实部与虚部的关系， 即转化为实数方程．本例是一个非常规的方 程，如果用模的计算进行转化，将要解一个 含绝对值的无理方程，运算量大且是二元方 程，不易得到结论．仔细观察已知条件并注 意到复数的模是一个非负数这一性质，我们 可以用整体观点处理求解．
用向量 OZ1,OZ2 分别表示复数z1=a+bi,z2=c+di
用向量 OZ 表示
用向量表示z=z1－z2
z=z1+z2
OZ OZ1 OZ2
OZ OZ1 OZ2
按向量加法的平行四边形 按向量减法的三角形法则
法则进行
进行(注意差向量方向)
③用向量 OZ 的长度(模)r来表示复数
z=a+bi的“绝对值”的大小，称为复数z=