第6练
复数与平面向量
[小题提速练]
第二篇
[明晰考情] 1.复数的四则运算是高考每年必考点，属送分题. 2.以平面图形为背景，考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积，难度为中低档.
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题组对点练
题组一 复数的四则运算及几何意义
要点重组 (1)z＝a＋bi(a，b∈R) 实数，b＝0，特别地，a＝0且b≠0时，z是纯虚数. 虚数，b≠0，
6.(2019·衡水押题卷)如图，B，A，C 恰好为圆 O 上 3 个相邻的六等分点，AD 为圆 O
的一条直径.若A→D＝a，A→B＝b，则C→A等于
A.12a－b
√C.－12a＋b
B.－a＋12b D.a－12b
解析 如图，连接OB，OC，则由B，A，C恰好为圆O上3个相邻的六等分点可得四边 形ABOC是菱形， 所以12A→D＝A→O＝A→C＋A→B， 即12a＝A→C＋b，所以A→C＝12a－b， 所以C→A＝－12a＋b.
(2)z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数是 z ＝a－bi. (3)z＝a＋bi(a，b∈R)的模为|z|＝ a2＋b2 . (4)复数除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数. (5)z＝a＋bi(a，b∈R) 一一对应 复平面内的点Z(a，b). (6)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝i2＝－1，i4n＋3＝i3＝－i.
1.(2019·全国Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A.(x＋1)2＋y2＝1
√C.x2＋(y－1)2＝1
B.(x－1)2＋y2＝1 D.x2＋(y＋1)2＝1
解析 ∵z在复平面内对应的点为(x，y)， ∴z＝x＋yi(x，y∈R). ∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1， ∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
解析
|z|＝|2|5－i|i|＝
5＝ 5
5.
4.(2019·全国Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内 z 对应的点位于
A.第一象限
√C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
解析 由题意，得 z ＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限， 故选C.
题组二 平面向量的线性运算
要点重组 (1)已知 O 为平面上任意一点，则 A，B，C 三点共线的充要条件是存在 s， t，使得O→C＝sO→A＋tO→B，且 s＋t＝1，s，t∈R. (2)△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，则A→D＝12(A→B＋A→C). (3)△ABC 中，O 是△ABC 内一点，若O→A＋O→B＋O→C＝0，则 O 是△ABC 的重心.
＝1341＋16kh＋2h5k≥1341＋2 16kh·2h5k＝27， 当且仅当 4h＝5k，即 h＝34，k＝35时取等号.
D.81
题组三 平面向量的数量积
要点重组 平面向量的数量积的运算的两种形式 (1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求， 可通过选择易求夹角和模的基底进行转化. (2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方 程思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化.
∴2λλ－＋μ2μ＝＝11，，
解得μλ＝＝6525，.
∴λ＋μ＝85.
8.在△ABC 中，G 为△ABC 的重心，过 G 点的直线分别交线段 AB，AC 于 P，Q 两点，
且A→P＝hA→B，A→Q＝kA→C，则 16h＋25k 的最小值为
√A.27
B.41
C.66
解析 设M为BC的中点， 则A→G＝23A→M＝13(A→B＋A→C)＝131hA→P＋1kA→Q， 又 P，G，Q 三点共线，所以31h＋31k＝1， 所以 16h＋25k＝(16h＋25k)31h＋31k
7.如图，在正方形 ABCD 中，M，N 分别是 BC，CD 的中点，若A→C＝λA→M＋μB→N，则 λ＋μ 等于
A.2
8 B.3
6 C.5
√8 D.5
解析 方法一 如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，
设正方形边长为 1，A→M＝1，12，B→N＝－12，1，A→C＝(1,1).
∵A→C＝λA→M＋μB→N＝λ1，12＋μ－12，1＝λ－μ2，2λ＋μ，
∴2λλ－＋μ2μ＝＝11，，
解得μλ＝＝6525，，
Hale Waihona Puke 故 λ＋μ＝85.方法二 以A→B，A→D作为基底，
∵M，N分别为BC，CD的中点， ∴A→M＝A→B＋B→M＝A→B＋12A→D，B→N＝B→C＋C→N＝A→D－12A→B，
∴A→C＝λA→M＋μB→N＝λ－μ2A→B＋2λ＋μA→D， 又A→C＝A→B＋A→D，
9.(2019·全国Ⅱ)已知A→B＝(2,3)，A→C＝(3，t)，|B→C|＝1，则A→B·B→C等于
A.－3
B.－2
√C.2
D.3
解析 因为B→C＝A→C－A→B＝(1，t－3)， 所以|B→C|＝ 1＋t－32＝1，解得 t＝3， 所以B→C＝(1,0)， 所以A→B·B→C＝2×1＋3×0＝2，故选 C.
5.(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则E→B等于
√A.34A→B－14A→C
B.14A→B－34A→C
C.34A→B＋14A→C
D.14A→B＋34A→C
解析 作出示意图如图所示. E→B＝E→D＋D→B＝12A→D＋12C→B ＝12×12(A→B＋A→C)＋12(A→B－A→C) ＝34A→B－14A→C.
2.(2019·临沂模拟)设 z＝i3＋12＋－2ii，则 z 的虚部是
A.－1
B.－45i
C.－2i
√D.－2
解析 z＝－i＋12＋－2ii11－－22ii＝－i－i＝－2i，则 z 的虚部是－2.
3.(2019·齐鲁协作体)设 z＝25－i i，则|z|的值为
A.2
√B. 5
55
5
C. 3
D.3
10.(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为
π A.6
√π B.3
2π
5π
C. 3
D. 6
解析 设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0， ∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α＝|b|2，