x
应力：r, ,r= r 应变：r, ,r= r
P
y
位移：u r , u
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3
§7-1平面极坐标下的基本公式
直角坐标与极坐标之间关系:
x=rcos, y=rsin
r cos sin
x r x x
r r
r sin cos
y r y y
r
r
2 r
r )( f r
r
f 1
r
fr 0 0 f
fr ) r
2＝ 2 1 1 2
r 2 r r r 2 2
力的边界条件如前所列。
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§7-1平面极坐标下的基本公式
1.8 应力函数解法
当体力为零 fr=f=0时, 应力法基本方程中的应
力分量可以转为一个待求的未知函数 ( r, ) 表示,而应力函数 ( r, ) 所满足方程为
16
§7-2 轴对称问题
2.1 轴对称问题的特点
1.截面的几何形状为圆环、圆盘。
2.受力和约束对称于中心轴,因此，可知体 积力分量 f=0 ； 在边界上 r=r0 ：F 0， u （0 沿环向的受力和约束为零） 。
3.导致物体应力、应变和位移分布也是轴 对称的：
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§7-2 轴对称问题
上式代入平衡微分方程可得到用位移表 示的平衡微分方程,即位移法的基本方程。
r
r
1 r r
( r
r
)
Kr
0
r
r
1 r
2 r
r
K
0
力的边界条件也同样可以用位移表示。
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12
§7-1平面极坐标下的基本公式
1.7 按应力法求解
在直角坐标 系中按应力求解 的基本方程为 (平面应力问题）
dur dr
ur r
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§7-2 轴对称问题
3.变形协调方程（一个）：
1 r2
2 r 2
1 2 r r 2
(r
)
1 r2
2
r
(r
r
)
1 r
r
r
0
1 d2 r dr 2
(r
)
1 r
d r
dr
0
d dr
(r
)
—r —变形协调方程
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20
§7-2 轴对称问题
3.变形协调方程（一个）：
1.5 边界条件
1. 位移边界条件：ur u，r u u（在 su 上 ）
2. 力的边 界 条件：
r r
cos(n,
r
)
r
cos(n, s )
Kr
Fr（在
cos(n,r) r cos(n,s) K F
s
上
）
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8
§7-1平面极坐标下的基本公式
1.5 边界条件
r
cos(n, r )
r
cos(n,
s)
Kr
Fr
r cos(n,r) r cos(n, s) K F
（在
s 上
）
环向边界
n
//
r
:
r
Kr , r
K（r=r0）
径向边界 n // s(nr) :θr Kr , K（ =0 ）
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§7-1平面极坐标下的基本公式
1.6 按位移法求解
基本未知函数为位移u r , u ，应变、应力 均由位移导出。平面应力问题时的应力由位移 表示：
2 (
x
x
x
xy
x
y
xy
y
fx
0
y
y
fy
0
) (1 )(fx
x
f y y
)
其中
2＝ 2 2
x 2 y 2
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§7-1平面极坐标下的基本公式
在极坐标按应力求解的基本方程为 （平面应力问题）
其中
2
r 1
r r
r
r
( r )
r 1 r (1
4 ( r, ) = 0 或
(
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
)2
0
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§7-1平面极坐标下的基本公式
而极坐标系下的应力分量r ,,,r 由 ( r, )
的微分求得, 即：
r
1 r2
2 2
1 r
r
2
r 2
r
r
(1 ) r r
1 r2
1 2
r r
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r
E
1 2
( r
)
1
E
2
u r r
(1 u r
ur r
)
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10
§7-1平面极坐标下的基本公式
1.6 按位移法求解
E
1 2
(
r
)
1
E
2
(1 u
r
ur r
ur ) r
r
E 2(1
)
r
E (1 ur
2(1 ) r
u r
u ) r
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§7-1平面极坐标下的基本公式
r r
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§7-1平面极坐标下的基本公式
1.1 平衡微分方程
r
r
1 r r
1 r
(
r
)
fr
0
r
r
1 r
2 r
r
f
0
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5
§7-1平面极坐标下的基本公式
1.2 几何方程
r
ur rΒιβλιοθήκη ur r1 ur
1.3 变形协调方程
r
1 ur
r
u r
u r
体采用极坐标 (r,) 来解，因为此时边界条件
用极坐标易描述、简便。本章将讨论采用极 坐标求解平面问题一些基本方程和解法以及 算例。
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2
§7-1平面极坐标下的基本公式
采用极坐标系则平面内任一
点的物理量为r, 函数。
体力：fr=Kr , f=K 面力： Kr Fr , K F
o r
第七章弹性力学平面问题的极坐 标系解答
§7-1平面极坐标下的基本公式 §7-2轴对称问题
§7-3轴对称应力问题——曲梁 的纯弯曲
§7-4圆孔的孔边应力集中问题 §7-5曲梁的一般弯曲 §7-6楔形体在楔顶或楔面受力
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在平面问题中，有些物体的截面几何形状 （边界）为圆形、扇形，对于这类形状的物
在V内 u=0，r=0，r=0, ur=ur(r)， r=r(r), = (r), r=r (r), = (r) 。
各待求函数为r的函数（单变量的）
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§7-2 轴对称问题
2.2 轴对称平面问题的基本公式
1. 平面微分方程 （仅一个）：
d r
r
r
r
fr
0
2. 几何方程（二个）：
r
1 r2
2 r 2
1 2 r r 2
(r
)
1 r2
2
r
(r
r
)
1 r
r
r
0
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§7-1平面极坐标下的基本公式
1.4 物理方程
平面应力问题：
1 E
(
r )
r
1 E
( r
)
r
2(1 E
)
r
平面应变问题将上式中
E
1
E
2
，
1
，即得。
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7
§7-1平面极坐标下的基本公式
d dr
(r
)
r
——变形协调方程
由几何方程：
r ur
d dr
(r
)
dur dr
r
或
d r
dr
r
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§7-2 轴对称问题
4.物理方程(两个) 平面应力问题
r
1 E
( r
)
1 E
(
r )