,，
使得 0且∑
1。
定理 1.17 消费者需求上的加总
设 , 是消费者的马歇尔需求；对所有的 , 1, … , ， 、 和 如 上定义。则收入份额、价格和需求的收入弹性之间有如下关系：
1. 恩格尔加总：∑
1
2. 古诺加总：∑
，
1, … ,
说明：给定 0，则对每个 ≫ ，
⋅,
。
证明：根据预算平衡性，
,…, ,…, ; ≡
给定假设 1.2，消费者的需求函数在价格和收入上零阶齐次；并且， 对所有的 , ，满足预算平衡性。
首先证明零阶齐次性。
证明：取 , ，取 0。设在 , 和 , 下消费者的需求分别
为
,和
, 。我们要证明它们相等。 是价格和收
入为 , 时的解，因此，
因此，对所有的 0，
⋅
。
⋅
。
就是说，在价格和收入为 , 时，消费者买得起 。因此，
证明：根据谢菲尔德引理，对所有的 1, … ,
∂ ∂
,
∂∂ ,
∂
∂
∂ ∂∂
,
因此，
∂ ∂
,
⋯
∂ ∂∂
,
σ, ≡
⋮
⋱
⋮
≡
,
∂ ∂∂
,
⋯
∂ ∂∂
,
因为支出函数是 的凹函数，因此，其海赛矩阵 以，矩阵σ , 负半定。
, 负半定，所
证毕
定理 1.16 Slutsky 矩阵为对称矩阵和负半定矩阵 设 , 是消费者的马歇尔需求。定义第 个 Slutsky 项为
, ，令 ∗ ≡
, 。根据
,, ≡ ,
根据定理，
,,
,∗
因此，
,, ≡ ,,,
带入 ∗，得到
,∗≡
, ,∗
这个式子对所有的 ≫ 都成立。等号两边对 求导， 到
1, … , ，得
∂ ∂
,∗
∂ ∂
, ,∗
∂ ∂
,
,∗
∂ ∂
,∗
应用谢菲尔德引理，得到
∂ ∂
,∗
∂ ∂
, ,∗
∂ ∂
, ,∗
,,
∂ ∂
, ,∗
4
∂, ∂
,
∂, ∂
，
并把价格和收入反应的整个 Slutsky 矩阵写为
, ∂,
∂
∂, ∂
,
∂, ∂
⋮
,
∂, ∂
⋯
∂, ∂
⋱
⋯
∂ ∂
,
,
∂, ∂
⋮
。
,
∂, ∂
则 , 是对称矩阵，也是负半定矩阵。
定义 1.6 需求弹性和收入份额
设 , 是消费者对商品 的马歇尔需求。设
≡∂
, ∂
,
≡∂ ∂ ,
,
设
≡
,
在只消费两种商品的情况中，至少一种商品必须为正常商品。
证明：根据预算平衡性，
,…, ,…, ; ≡
恒等号两边对 求导，得到
,…, ,…, ;
,…, ,…, ; 0
整理得到
,…, ,…, ;
,…, ,…, ;
现在，凑弹性表达式：等号两边同乘以 ，得到
得到
,…, ,…, ;
,…, ,…, ;
6
因此，支出函数的自二阶导数非正，即对所有的 1, … , ，
∂, ∂
0
根据谢菲尔德引理，
∂, ∂
,
于是，
,
∂, ∂
0
定理 1.13 需求法则
正常商品自身价格下降，将导致其需求量上升。如果一种商品自身价 格的下降，导致其需求量下降，则这种商品肯定是低档商品。
定理 1.14 替代项对称
设 , 是消费者的希克斯需求，设支出函数 二阶连续可微，则对 所有的 , 1, … , ，
∂ ∂
, ,∗
,
整理得到：
2
∂ ∂
,
∂ ∂
,∗
,
∂ ∂
,
说明：
证毕
∂, ∂ ⋮
∂, ∂
⋯
∂ ∂
,
⋱
⋮
⋯
∂ ∂
,
∂, ∂
∂, ∂
,
∂, ∂
⋮
,
∂, ∂
⋯
∂, ∂
⋱
⋯
∂ ∂
,
,
∂, ∂
⋮

,
∂, ∂
定理 1.12 自替代项为负 设 , 是对商品 1, … , 的希克斯需求。则
∂, ∂
0,
1, … ,
证明：定理 A2.5 说，当凹函数二阶连续可微时，自二阶导数非正。 而定理 1.6 说，支出函数 , 在 上是凹函数。
算线上，就是说，
⋅,
证毕
定理 1.11 Slutsky 方程
设 , 是消费者的马歇尔需求。设 ∗是在价格为 和收入为 时，消 费者实现的效用水平。则对所有的 , 1, … , ，
∂, ∂
全部效应
∂ ,∗ ∂
替代效应
证明：给定 , ，则间接效用函数为 定理，对所有的 1, … , ，
,
∂, ∂
收入效应
恒等号两边对 求导，得到
,…, ,…, ; 1
5
整理得到 ,…, ,…, ;
1 得到
,…, ,…, ;
,…, ,…, ;
1
证毕
就是说，以支出份额为权重，各商品的收入弹性的平均值为 1。
假设所有商品都是低档品，即随着收入上升，需求量下降的商品。这
些商品的需求的收入弹性小于零。∑
0。矛盾。因此，不可
能所有商品都是低档品。
。 另一方面， 是价格和收入为 , 时的解，因此，
因此，
⋅
。
⋅
。
就是说，在价格和收入为 , 时，消费者买得起 。因此，
。
我们于是得到
。
假设 1.2 指出效用函数严格拟凹，因此，
1
就是说，
,
,。
证毕
现在证明预算平衡性。
证明：任取价格和收入 , ，设最优解为 ∗
, 。根据假设 1.2，
效用函数严格递增。消费者因此会耗尽全部收入，最优解必然位于预
3
∂, ∂
∂, ∂
证明：交叉导数的求导顺序不重要，因此，
∂∂ ,
∂
∂
∂∂ ,
∂
∂
根据谢菲尔德引理，
∂, ∂
,
∂, ∂
,
因此，
∂ ∂
,
∂ ∂
,
定理 1.15 替代矩阵负半定 设 , 是消费者的希克斯需求，设
证毕
∂, ∂
⋯
∂ ∂
,
σ, ≡
⋮
⋱
⋮
，
∂, ∂
⋯
∂ ∂
,
称为替代矩阵，包含所有的希克斯替代项。则矩阵σ , 负半定。
第五次课
第四次课需要掌握的内容
1. 知道最大值定理
2. 能运用包络定理 3. 间接效用函数，间接效用函数的性质 4. 支出函数，支出函数的性质
5. 效用最大化问题与支出最小化问题之间的对偶关系 需求函数 , 的特征
主要探讨课本第 62 页 Figure 1.21 中的结论。
定理 1.10 零阶齐次性和预算平衡性