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单元质量评估(一)第四章 三角函数 （120分钟 150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.函数y=tan(3x+1)的最小正周期是( ) (A)3π (B)23π (C)32π(D)2π 2.sin450°的值为( )(A)-1 (B)0 (C)12(D)1 3.下列与6π终边相同的角为( )(A)390° (B)330° (C)60° (D)-300°4.(2011·杭州高一检测)从上午8点到中午12点,时针旋转了多少度( ) (A)120° (B)-120° (C)1 440° (D)-1 440°5.(2011·长沙高一检测)函数y=sin(x+2π)是( ) (A)周期为2π的偶函数 (B)周期为2π的奇函数 (C)周期为π的偶函数 (D)周期为π的奇函数6.(2011·郑州高一检测)设α是第二象限角,则sin cos αα=( ) (A)1 (B)tan 2α (C)-tan 2α (D)-17.如果y ＝cosx 是增函数，且y ＝sinx 是减函数，那么x 的终边在( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限8.已知直角△ABC 的锐角A ，B 满足2cos 2B 2=tanA-sinA+1,则A=( )(A)6π (B)4π (C)3π (D)512π9.(2011·大同高一检测)若函数y=sin(2x+φ)是定义域(0≤φ≤π)上的偶函数，则φ的值是( )(A)0 (B)4π (C)2π(D)π10.式子1sin2cos21sin2cos2+θ-θ+θ+θ等于( )(A)tan θ (B)cot θ (C)sin θ (D)cos θ11.下列函数中,最小正周期为2π的是( )(A)y=sin(2x-3π) (B)y=tan(2x-3π)(C)y=cos(2x+6π) (D)y=tan(4x+6π)12.(2011·全国高考)设函数f(x)=cos ωx(ω>0)，将y=f(x)的图象向右平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( ) (A)13(B)3 (C)6 (D)9二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)13.函数y=2sinxcosx,x ∈R 是_________函数(填“奇”或“偶”). 14.在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角为________弧度. 15.若角α的终边经过P(-3，b)，且cos α=-35,则sin α=________.16.(2011·郑州高一检测)关于函数f(x)=4sin(2x+3π)(x ∈R)，有下列命题： (1)y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-6π)； (2)y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数； (3)y=f(x)的图象关于点(-6π,0)对称； (4)y=f(x)的图象关于直线x=-6π对称. 其中正确的命题序号是_________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)求值：tan5°+cot5°-2sec80°. 18.(12分)若3sin cos sin 3cos α-αα+α=1.求：(1)tan α的值； (2)2sin cos cos sin cos α+α+αα-α的值.19.(12分)(2011·四川高考)已知函数f(x)=sin(x+74π)+cos(x-34π),x ∈R, (1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β-α)=45,cos(β+α)=- 45,0＜α＜β≤2π,求证：［f(β)］2-2=0.20.(12分)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A,ω>0,|φ|<π)在一个周期内的图象如图.(1)求函数的解析式; (2)求函数的单调递增区间.21.(12分)(2011·重庆高考)设a ∈R ，f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos 2(2π-x)满足f(-3π)=f(0),求函数f(x)在［11,424ππ］上的最大值和最小值. 22.(12分)已知函数f(x)=1+sinxcosx,g(x)=cos 2(x+12π).(1)设x=x 0是函数y=f(x)图象的一条对称轴，求g(x 0)的值； (2)求使函数h(x)=f(x 2ω)+g(x 2ω)(ω>0)在区间［2,33ππ-］上是增函数的ω的最大值.答案解析1.【解析】选A.T=3ππ=ω.2.【解析】选D.sin450°=sin(360°+90°)=sin90°=1.3.【解析】选A.6π =30°，390°=360°+30°，选A.4.【解析】选B.时针每转一个小时转过-30°，故经过4个小时共转过-120°.5.【解析】选A.∵y=sin(x+2π)=cosx ，∴此函数是周期为2π的偶函数. 6.【解析】选D.∵α是第二象限角，∴sin α>0,cos α<0，sin cos ααsin sin cos cos cos sin ααα=-⋅ααα=-1. 7.【解析】选C.结合正、余弦函数的图象可知，x 的终边在第三象限. 8.【解析】选C.由已知条件得1+cosB=tanA-sinA+1，即sinA=tanA-sinA, ∴2sinA=tanA ，于是2sinA=sinAcosA. ∵A 为锐角，∴sinA ≠0.∴1cosA ,0A ,A 223ππ=<<∴=又.9.独具【解题提示】与三角函数有关的函数若是偶函数，则必然与余弦函数有关，故本题可将选项代入，能转化为余弦函数即可.【解析】选C.当φ=2π时，y=sin(2x+2π)=cos2x ，此时函数是偶函数.10.【解析】选A.221sin2cos21sin2(12sin )1sin2cos21sin22cos 1+θ-θ+θ--θ=+θ+θ+θ+θ-=222sin cos 2sin sin (cos sin )tan 2sin cos 2cos cos (sin cos )θθ+θθθ+θ==θθ⋅θ+θθθ+θ. 11.【解析】选B.对A 、C ，T=22π=π；对B ，T D T 24ππ==；对，. 12.独具【解题提示】解决此题的关键是理解好三角函数周期的概念.将y=f(x)的图象向右平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明了3π是此函数周期的整数倍. 【解析】选C.由题3π=2πω·k(k ∈Z),解得ω=6k,令k=1，即得ωmin =6. 13.【解析】x ∈R ，又f(-x)=2sin(-x)cos(-x)=-2sinxcosx=-f(x). ∴此函数是奇函数. 答案：奇14.【解析】设扇形的圆心角为α，则1S r 1,2r=⋅=l l =α,r=1,∴α=2. 答案：215.【解析】∵P(-3,b),∴又∵cos α=33,55-=-,5=,即b 2=16, ∴b=±4,故sin α=b 4r 5=±.答案：±45独具【误区警示】注意不要漏解.16.【解析】f(x)=4sin(2x )4cos (2x )323πππ+=-+［］=4cos(2x-6π)，故(1)正确；又T=22π=π，故(2)错误；当x=-6π时，y=0，故函数图象关于点(-6π,0)对称，(3)正确；当x=-6π时，f(-6π)=4sin(33ππ-+)=0≠±4,故(4)错误. 答案：(1)(3)17.【解析】tan5°+cot5°-2sec80°sin5cos52cos5sin5cos8012sin5cos5cos8022sin10sin10︒︒=+-︒︒︒=-︒⋅︒︒=-︒︒ =018.【解析】(1)由3sin cos sin 3cos α-αα+α=1得3tan 1tan 3α-α+=1，从而tan α=2.(2)2222sin cos tan 1cos cos sin cos tan 1sin cos α+αα+α+α=+α-αα-α+α=22tan 1121116tan 1tan 121215α+++=+=α-α+-+. 19.【解析】(1)∵f(x)=73sin(x 2)sin(x )442πππ+-π+-+=sin(x-4π)+sin(x-4π)=2sin(x-4π).∴T=2π,f(x)的最小值为-2.(2)由已知得cos βcos α+sin βsin α=45,cos βcos α-sin βsin α=-45, 两式相加得2cos βcos α=0. ∵0＜α＜β≤2π,∴β=2π. ∴［f(β)］2-2=4sin 24π-2=0. 20.【解析】(1)由图象可知 A=2，T=π，∴ω=2Tπ=2， ∴y=2sin(2x+φ).又点(-12π,2)在图象上， ∴2sin(-6π+φ)=2，即-6π+φ=2k π+2π,k ∈Z ，∴φ=23π， ∴y=2sin(2x+23π).(2)由图象可知函数的单调递增区间是［511k ,k 1212πππ+π+］(k ∈Z). 21.【解析】f(x)=asinxcosx-cos 2x+sin 2x =a2sin2x-cos2x.由()a 1f ()f 01322π-=+=-得, 解得a=因此cos2x 2sin(2x )6π-=-.当x ∈,2x ,43632πππππ-∈［］时，［］,f(x)为增函数,当x ∈113,2x ,324624πππππ-∈［］时，［］,f(x)为减函数, 所以f(x)在［11,424ππ］上的最大值为f(3π)=2.又因11f ()()424ππ==故f(x)在1111,f ()42424πππ=［］上的最小值为独具【方法技巧】三角函数的最值的求法 1.三角法通过三角恒等变换化为y=Asin(ωx+φ)+B 的形式，常见类型有：φ),其中cos ϕ=ϕ=.(2)y=asin 2x+bsinx ·cosx+ccos 2x 可先降次，然后整理化为(1)的形式. (3)y=asinx b acosx b (y )csinx d ccosx d++=++或可转化为sinx=f(y),cosx=f(y)的形式或只有分母含sinx ，cosx 的函数式.由正、余弦函数的有界性求解. 2.代数法(1)y=asin 2x+bcosx+c 可转化为关于cosx 的二次函数式.(2)含有“sinx+cosx,sinx ·cosx,sinx-cosx ”的函数，通过换元转化为代数问题.(3)y=asinx c bcosx d ++应用万能公式转化为关于tan x2的二次方程，由判别式法求其最值或转化为关于tan x2的函数式求其最值.22.【解析】(1)由题设知f(x)=1+12sin2x ，因为x=x 0是函数y=f(x)图象的一条对称轴.所以2x 0=k π+2π (k ∈Z).g(x 0)=011cos(2x )26π++［］=121cos(k )23+π+π［］当k 为偶数时，g(x 0)=121(1cos )234+π=;当k 为奇数时，g(x 0)=13(1cos )234π+=.故g(x 0)=1344或.(2)因为h(x)=11(1sin x)1cos(x )226π+ω++ω+［］113(sin x x sin x)22213sin(x ).232=ω+ω-ω+π=ω++ 当22x ,x 3333333πππωππωππ∈-ω+∈-++［］时，［，］,因为h(x)在［233ππ-，］上是增函数，且ω>0, 所以2,,333322ωππωππππ-++⊆-［］［］,即213322332ωπππ⎧-+≥-⎪⎪ω≤⎨ωπππ⎪+≤⎪⎩，解得，所以ω的最大值为12.。