围．
解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！
解法1：∵－1≤x<3，
∴2≥－2x>－6， ∴2＋4≥－2x＋4>－6＋4， [2分]
即6≥－2x＋4>－2.
∵y＝－2x＋4， ∴6≥y>－2，即－2<y≤6. [4分]
解法2：∵y＝－2x＋4， ∴x＝
4－y .[1分] 2 4－y<3. 2
[2分]
1．理解并掌握平面中确定点的位置的方法
在平面内，确定一个点的位置，一般需要两个数据．利用纵横
交错法确定点的位置，要知道横向、纵向的格数；利用“方位角＋ 距离”来确定点的位置，需知道该点相对于参考点的方位角和距
离．确定位置的方法，除了上面所述的两种，还有区域法等．
用坐标描述点的位置，关键在于建立适当的坐标系，并确定单 位长度．直角坐标系是刻画点的位置的一种工具，它把几何中研究 的基本对象“点”与代数中研究的基本对象“数”联系起来，从而 将“数”与“形”相结合，这样就使得我们可以用代数的方法来研 究几何图形．10102
2
过点(0,0)，(30,9)画线段即函数y1的图象．(图象略) (2)甲、乙途中有两次相遇，第一次相遇时，
3 y＝2， x＝2，x＝ 20，即出发后20 分钟．
y＝ 3 x， x＝45， 2 即出发后45 分钟． 第二次相遇 10 解之得 1 9 2 27 y＝ x－ ， y＝ ， 2 2 4
2
探究提高 本题利用了几何中的公式，用自变量表示因变量．
知能迁移3
(2010·漳州)某零件制造车间有工人20名，已知每名工
人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零 件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元．在这20名工 人中，设该车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造 乙种零件． (1)请写出此车间每天所获利润y(元)与x(人)之间的函数关系式； (2)若只考虑利润问题，要使每天所获利润不低于24000元，你认 为至多要派多少名工人制造甲种零件才合适？ 解：(1)y＝6x· 150＋5(20－x)· 260＝900x＋26000－1300x
＝－400x＋26000.
(2)∵y≥24000， ∴－400x＋26000≥24000，－400x≥－2000，x≤5.
答：至多要派5名工人制造甲种零件才合适．
题型四
【例 4】
观察图象，求解实际问题
(2010· 黄石) 甲、乙两位同学住在同一小区，在同一中
学读书，一天恰好在同一时间骑自行车沿同一线路上学，小区 离学校有9 km，甲以匀速行驶，花了30 min到校，乙的行程信 息如图中折线O－A－B－C所示，分别用y1、y2表示甲、乙在时 间x(min)时的行程，请回答下列问题． (1)分别用含x的解析式表示y1、y2
解析：x－2≥0，x≥2.
2．(2011·株洲)根据生物学研究结果，青春期男女生身高增长速 度呈现如下图规律，由图可以判断，下列说法错误的是( D ) A．男生在13岁时身高增长速度最快 B．女生在10岁以后身高增长速度放慢 C．11岁时男女生身高增长速度基本相同 D．女生身高增长的速度总比男生慢
探究提高
代数式有意义的条件问题：
(1)若解析式是整式，则自变量取全体实数； (2)若解析式是分式，则自变量取使分母不为0的全体实数；
(3)若解析式是偶次根式，则自变量只取使被开方数为非负数的
全体实数； (4)若解析式含有零指数或负整数指数幂，则自变量应是使底数
不等于0的全体实数；
(5)若解析式是由多个条件限制，必须首先求出式子中各部分自 变量的取值范围，然后再取其公共部分，此类问题要特别注意， 只能就已知的解析式进行求解，而不能进行化简变形，特别是不 能轻易地乘或除以含自变量的因式．
2．了解函数三种表示方法的特点 解析法是用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系 的方法，这个等式称为函数的解析式，如s＝80t，A＝πr2等．解析 法简单明了，能使我们从解析式了解整个变化过程中函数与自变 量之间的全部相依关系，适合于作理论分析和计算、推导．许多 定律、法则都用解析式(即公式)来表示．但在求对应值时，需要 逐个计算，有时是很麻烦的，且有不少函数很难或者无法用解析 式表示出来． 列表法指用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数
∵－1≤x<3， ∴－1≤
∴－2≤4－y<6，
∴－2－4≤－y<6－4，－6≤－y<2， ∴－2<y≤6. 探究提高 结合不等式的性质，由自变量的取值范围，可确定函数的 取值范围． [4分]
知能迁移2
(2010· 上海)已知函数f(x)＝
1 x2＋1
1 ，那么f(－1)＝_____. 2
解析：当x＝－1时，f(－1)＝
1 1 ；甲、乙合做的工作 4 40 1 1 ÷(14－10)＝ 1 . 1÷ 1 ＝8.实际完成这项工程所 效率 － 2 4 16 2 16
解析：甲独做的工作效率 ÷10＝ 用时间为10＋4＋8＝22(天)，而甲单独完成所需时间为40(天)，
40－22＝18(天)．
4．(2011·福州)下列函数的图象，经过原点的是( A )
的对应值一般只是近似的，且只反映出变量间关系的一部分而不
是全体． 函数的三种表示法各有优缺点，我们常常各取其长，综合运
用这三种方法来研究有关函数问题，并且函数三种表示法可以相
互联系与转化．
基础自测
1．(2011·武汉)函数y＝ x－2中自变量x的取值范围是( C ) A．x≥0 B．x≥－2
C．x≥2 D．x≤－2
1 ＝1 . －12＋1 2
题型三
确定实际背景下的函数关系式
【例 3】
如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙(墙的
长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x(m)，则菜园的面积 y(m2)与x(m)的函数关系为__ 1x2＋15x ____ － (不要求写自变量的取值范围)．
30－x ＝－ 1 x2＋15x. 解析：y＝AB· BC＝x· 2 2
正解
(1)由题意，得2(x＋y)＝8，则y＝4－x，其中0<x<4. (2)图象如图所示．
批阅笔记
作实际问题的函数图象时，若不注意自变量的取值范
围，往往作出错误的图象．确定实际问题的函数的自变量取值 范围，一要考虑使代数式有意义，二要考虑实际问题的背景.
思想方法 感悟提高
方法与技巧
1. 自变量x取值范围常见类型： (1)若解析式是整式，则x可取全体实数；
(标明x的范围)，并在图中画出函
数y1的图象； (2)甲、乙两人在途中有几次相遇？
分别是出发后的多长时间相遇？
解：(1)设y1＝k1x，则有9＝30k，k1＝ 3 ，y1＝ 3 x(0≤x≤30)；
2 在0≤x≤5时，y2＝ x； 5
在5<x≤13时，y2＝2； 在13<x≤27时，y2＝ 1 x－ 9 .
120＝2.5k＋b， k＝－48， 得 0＝5k＋b， b＝240，
y＝－48x＋240.(2.5≤x≤5) (3)当x＝4时，y＝－48×4＋240＝48. 答：这辆汽车从甲地出发4 h时与甲地的距离是48 km.
易错警示
7．自变量取值范围不可忽视 试题 矩形的周长是8(cm)，设一边长为x(cm)，另一边长为 y(cm)． (1)求y关于x的函数关系式； (2)在图中作出函数的图象． 学生答案展示 解：(1)由题意得2(x＋y)＝8，则y＝4－x.
10
3
3
探究提高 要学会阅读图象，正确理解图象中点的坐标的实际意 义，由图象分析变量的变化趋势，从而确定实际情况．分 析变量之间的关系、加深对图象表示函数的理解，进一步 提高从图象中获取信息的能力，运用数形结合的思想观察 图象求解．
知能迁移4
在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往
乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x(h)时，汽车 与甲地的距离为y(km)，y与x的函数关系如图所示．
关系的方法．列表法对于表中已有的自变量的每一个值，可以直
接找到对应的函数值，它适用于计算函数值很麻烦或很难找到函 数关系式的情况．缺点是不能把自变量与函数的全部对应值列出
来，而且从表格中也不易看出自变量与函数之间的对应规律．
图象法是指用图象来表示一个变量与另一个变量之间函数关 系的方法．在给定的函数中，把自变量x的一个值和函数y的对应 值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点， 所有这些点的集合，叫做这个函数的图象．函数的变化情况和某 些性质在图象上能够很直观地显示出来，以后我们通常借助函数 的图象来探索函数的性质．其缺点在于从图象上找自变量与函数
(2)图象如下图：
剖析
此题题意明确，易建立函数关系式，但在求自变量x的取值
y>0，
范围上易犯错，据实际情况，x、y表示矩形的边长，则 x>0， 即x>0， 故自变量x的取值范围为：0<x<4，则第(2)问 x>0， 4－x>0，x<4
中，图象不是直线，而是去掉端点(4,0)，(0,4)的线段．
(2)若解析式是分式，则必须使得分母不为0；
(3)若解析式是二次根式，则必须使得被开方数不小于0； (4)对于实际意义的函数，自变量取值范围还应使实际问题有
第三章 函数及其图像
第11课 函数及其图像
要点梳理
1. 常量、变量： 在某一过程中，保持一定数值不变的量叫做 常量 ；可以取不 同数值的量叫做 变量 ． 2．函数： 一般地，设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的 每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是 自变量 ，y是x 的 函数 ． 3．函数自变量取值范围： 由解析式给出的函数，自变量取值范围应使解析式有意义；对 于实际意义的函数，自变量取值范围还应使实际问题有意义．