中考数学辅导之—锐角三角函数和函数的图像一、学习目标：（一）1.理解锐角三角函数定义,会用锐角三角形定义列出函数关系式解直角三角形.2.了解锐角三角函数的四个同角间的函数恒等式,并会解一些相关的题目.3.理解锐角三角函数的性质,会比较在某个范围内正弦和正弦,正弦和余弦, 正切和正切,正切和余切的大小,及利用函数值的大小判断角的大小.4.熟记特殊角的三角函数组,并会准确的计算.5.会用解直角三角形的有关知识,解某些实际问题. （二）1.了解平面直角坐标系的有关概念,会由点的位置确定点的坐标,会由点的 坐标确定点的位置.2.理解函数的意义,能根据一个具体的函数解析式,确定自变量的取值范围, 并会由自变量的值求出函数值.3.掌握正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的概念及性质,会画出 图象.4.能根据不同条件,用待定系数法求函数解析式.二、基础知识及需说明的问题：1.利用直角三角形边角之间的关系来解直角三角形,最主要的是记住定义。
譬如说,我们要求直角三角形中一个锐角的度数,需根据已知条件是这个角的哪些边来选择函数定义,若已知直角三边形的一个锐角和一边长求另一边长也是如此.2.正弦、正切函数都是增函数。
即当角度在00-- 900间变化时，正弦、正切值随着角度的增大而增大。
如：化简)450()cos (sin 002<<-ααα,我们先将此式由性质化简|cos sin |)cos (sin 2αααα-=-,然后看是αsin 大还是αcos 大.不妨在00450<<α中取040=α,则040sin sin =α,0050sin 40cos cos ==α（化成同名三角函数）∵0050sin 40sin <,∴0040cos 40sin <，这说明ααc o s s i n <,0cos sin <-αα.∴ααααααsin cos |cos sin |)cos (sin 2-=-=-（负数的绝对值是其相反数）。
再如:已知21cos )cos 21(2-=-αα，确定角α的取值范围。
∵21cos |cos 21|)cos 21(2-=-=-ααα,∴060cos cos 21cos ≥≥αα即,因为余弦函数是随着角度的增大余弦值反而越小，∴060≤α.3.在直角坐标系中,某个点的横坐标是该点向x 轴做垂线,垂足在x 轴所表示的那个实数,纵坐标是该点向y 轴作垂线,垂足在y 轴上表示的实数.点在x 轴上,纵坐标为0,即(x ,0).点在y 轴上,横坐标为0,即(0,y ).若两点关于x 轴对称, 则横坐标相同,纵坐标互为相反数. 若两点关于y 轴对称, 则纵坐标相同,横坐标互为相反. 若两点关于原点对称,则横坐标、纵坐标都互为相反数.4.要注意结合图象理解：正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的性质,要理解xky kx y ==和中的k 的正、负,知道图象在第几象限,x y 随的增大而增大还是减小.在b kx y +=中,要由b k ,的符号画出图象草图.知道b kx y +=的图象的位置,反之由b kx y +=在坐标系中的位置确定b k ,的符号,在二次函数c bx ax y ++=2 中知道a 的正、负确定开口方向,c b a ,,的正、负,确定抛物线在坐标系中的大体位置.5.特别要注意：一次函数b kx y +=和二次函数x c bx ax y 与++=2轴交点的坐标的求法,即点在0,=y x 轴上,此时002=++=+c bx ax b kx 或，它们与x 轴交点的纵坐标都为零,而横坐标是上述方程的根.二次函数c bx ax y ++=2中的ac b 42-=∆的值,决定着抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的个数.0>∆时有两个交点;0=∆ 时只有一个交点;0<∆ 时没有交点。
会利用0=x 求y ，并得出图象与y 轴的交点的坐标.6.用待定系数法确定函数解析式是较难的.要总结经验归纳类型.三、本期练习 (一)判断题1.一次函数0,0,><+=b k b kx y 中,则它的图象经过一,二,四象限( )2.当αααααcos sin )cos (sin ,6045200-=-≤≤( )3.已知斜坡AB 的坡度31=i ,则坡角α的度数是60°( )4.函数xy 3=的图象的两支在第一,三象限,x y 随的增大而增大( )5.已知点A(-4,3)和(-4,-3),则A,B 关于y 轴对称( )6.在Rt △ABC 中,AD 是斜边BC 边上的高,若BC=6,DC=2,则36cos =β( ) (二)填空题:1.在Rt △ABC 中,∠C=Rt ∠,AC=3,BC=4,则A cos =_____.2.若)90cos(,21)90sin(00αα-=-则=_____.3.在Rt △ABC 中,∠C=90°,,83=ctgA b=6,则c=_____.4.0303cos 20=-tg α,则锐角α=_____度. 5.在Rt ΔABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,若AC=12,AD=83,则BC=_____.6.函数x x y 与331-=轴的交点A 的坐标是_____,与y 轴的交点B 的坐标是_____,S △AOB=_____.7.在Rt △ABC 中,∠C=90°,53sin =A ,斜边c=10,则Rt △ABC 内切圆的半径是_____,内心与外心间的距离是_____. 8.函数51--=x x y 的自变量x 的取值范围是_____.9.抛物线x x k x y 与16)1(22++-=轴只有一个交点,则=k _____.10.抛物线253212-+-=x x y 的顶点关于x 轴的对称点的坐标是_____.11.一次函数b kx y +=的图象经过(2,2)和(3,5)点,则函数解析式是_____.12.020********cos 3023363650sin 90sin 30cos ++⋅-+-ctg ctg tg 的值是_____.13.如果c bx ax y ++=2的图象经过(1,4),(0,2)和(-2,-8)三点,则c b a ++的值是_____.14.已知x y y y y 是121,-=的正比例函数,22x y 是的反比例函数,且x y y x y x 与则时时,11,21,1,1-==-==间的函数解析式是_____.15.已知直线52-=+=x y b kx y 与交点的横坐标是1,与3+-=x y 交点的纵坐标是4,则函数b kx y +=的解析式是_____.16.已知y b kx y 与+=轴交点的纵坐标是2,它与两坐标围成的三角形的面积是7,则这个函数的解析式是_____.17.342+=-=x y x y 与相交点C,设两直线与x 轴分别交于A,B,与y 轴交于P,Q,则点C 的坐标是_____.S △ABC=_____,S △CPQ=_____.18.直线b kx y x y +=+-=与2的交点坐标是C(3,-1),两直线与x 轴分别交A,B,且S △ABC=9,则直线的解析式是_____.19.二次函数)1(3)2(2++-+-=m x m x y 的图象与x 轴交于A,B 两点,(A 在B 的左边)与y 轴交于C,线段OA 与OB 的长的积等于6,(O 是坐标原点),则m 的值是_____,S △ABC=_____. (三)选择题:1.若函数xky x k y 2)3(=-=与在同一坐标系中相交,且0<k ,则交点在:A.第一象限B.第二象限C.第二,四象限D.第四象限2.∠A 是锐角,33>ctgA ,则∠A: A.<30° B.> 30° C.<60° D.>60°3.在同一坐标系中,)0(≠=+=ab xaby b ax y 与的图象大致是: y y y yA. B. C. D. (四)解答题已知关于x 的二次函数1)12(22-+-+=k x k x y ，求：1.关于x 的一元二次方程01)12(22=-+-+k x k x 的两根平方和等于9,求k 的值.2.在1的条件下,设这个二次函数的图象与x 轴从左到右交于A,B 两点,问在对称轴的右边的图象上,是否存在点M,使锐角△AMB 的面积等于3,若存在,请写出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.四、本期练习答案(一)1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.× 6.√ (二)1.532. 233. 7324. 30°5. 3126. (9,0),(0,-3)2277. 2; 5 8. 51≠≥x x 且 9. ¨5或3 10. (3,-2) 11. 43-=x y12. 132- 13. 4 14. 232xx y += 15.2127+-=x y16.提示:设y b kx y 与+=轴交于它与x 轴交于(0,x ),则S △AOB=7||221=⋅⨯x 7||=x 77-==x x 或∴与x 轴交于(7,0)和将2,0,0,7====y x y x 代入公式272+-=x y ,将2,0,0,7===-=y x y x 代入得272++=x y17.交点C 的坐标是 342+=-=x y x y 的解 107==y x S △ABC=25 S △CPQ=24918.提示:x x y 与2+-=轴交于(2,0),b kx y +=与x 轴交于(0,x ) 则91|2|21=⋅-⋅x 18|2|=-x 1620-==x x 或 ∴B()或(-16,0)分别和C(3,-1)代入b kx y +=得∴17201711-=x y 和1612-=yb19.二次函数x m x m x y 与)1(3)2(2++-+-=轴交于A(0,1x )和B(0,2x ),21,x x 是0)1(3)2(2=++-+-m x m x 的根.线段OA 的长是||1x ,线段OB 的长是||2x ,由题意得:6||||21=⋅x x ,若图象是A(0,1x ) B(0,2x )则0,021<<x x 6)()(21=-⋅-x x 621=⋅x x 两根之积是6 61)1(3=-+m 3-=mA()则,021<x 6|21= 621=⋅-x x 621-=⋅x x 61)1(3-=-+m 1=m ∴13=-=m m 或 S △ABC=3或15 (三)1.D 2.C 3.C(四)①由92221=+x x )12(21--=+k x x 1221-=⋅k x x 得1-=k ②∵1-=k ∴x x y 32-=与x 轴交于A(0,0)和B(3,0)设存在),(y x m由题意得3||321=⨯⨯y 2||=y 22-=或y将2=y 舍去(若m y 则2=点必在x 轴上方,此时△AB m 是钝角三角形,与△A m B 是锐角三角形不符)当2-=y 时, 232-=-x x 0232=+-x x 1=x 2=x∴)1,2()2,1(--m m 和 )2,1(-m 也会在[因为)2,1(-m ]在对称轴左边. ∴适合条件的点m 是(2,-2))y。