2020中考复习--黄金分割专题训练（一）一、选择题1.若P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，设AB=1，则PA的长约为()A. 0.191B. 0.382C. 0.5D.0.6182.上海东方明珠电视塔高468m.其上球体位于塔身的黄金分割点，那么它到塔底部的距离大约是()A. 289.2mB. 178.8mC. 110.4mD. 468m3.如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整条线段的长度比是黄金比，那么较短一段与较长一段的长度比也是黄金比．由此，假设整条线段长为1，较长的一段为x，可以列出的方程为()A. 1−xx =x1B. 1−x1=1xC. x1−x=1−x1D. 1−xx=x√54.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=4，则线段AC的长是()A. 2√5−2B. 6−2√5C. √5−1D. 3−√55.一条线段的黄金分割点有()个A. 1B. 2C. 3D. 无数个6.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是()A. S1>S2B. S1<S2C. S1=S2D. 不能确定7.已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且AC>BC，下列说法错误的是()A. 如果ACAB =BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B. 如果AC2=AB⋅BC，那么线段AB被点C黄金分割C. 如果线段AB被点C黄金分割，那么BC与AB的比叫做黄金比D. 0.618是黄金比的近似值8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD、AE将∠BAC三等分交边BC于点D，点E，则下列结论中错误的是()A. 点D是线段BC的黄金分割点B. 点E是线段BC的黄金分割点C. 点E是线段CD的黄金分割点D. EDBE =√5−12二、填空题9.据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________℃(结果保留整数)．10.如果线段AB=10cm，P是线段AB的黄金分割点，那么线段BP=________cm．11.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割(BC<AC).已知AB=4cm，则BC的长约为________cm.(结果精确到0.1)12.在自然界中，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度的比接近于0.618.若双翅展开后的长度约为5.62cm，则其身长约为_______cm(保留两位小数)13.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm，下半身长x(cm)与身高l(cm)的比值是0.60.为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为____．14.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm，则宽约为________(精确到1cm)．15.已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，若P点为线段AB上的任意一点，则P点出现在线段AC上的概率为________．三、解答题16.拥有一个完美的身材是很多人的梦想，世界著名的雕像“维纳斯”就被认为是最美的身材。

因为她的身材比例符合黄金分割，这也是人们追求的完美的比例。

人体结构就其整体而言，如果肚脐以上与肚脐以下两部分的比和肚脐以下与整体的比相等，就构成了黄金分割，肚脐眼就是黄金分割点，这个比值就是黄金分割比。

因为它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。

就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。

如果把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，这个分割点就是黄金分割点，这个比值就是黄金分割比。

如图1，点C在线段AB上，若满足CB:AC=AC:AB，则称点C为线段AB的黄金分割点。

如图2，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D。

点D是线段AC的黄金分割点吗？说明理由。

17.如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．(1)求AM，DM的长．(2)求证：AM2=AD·DM，并根据你在求学中的感悟，说说M点是线段AD上的什么点？，A点是线段BF上的什么点？AB，在DA上截取DE=DB，在18.如图，线段AB=2，BD⊥AB于点B，且BD=12AB上截取AC=AE．求证：点C是线段AB的黄金分割点．19.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618.这个比值，被称为黄金分割数.我国著名数学家华罗庚普及并做出重要贡献的优选法中有一种0.618法也应用了黄金分割数．定义：点C在线段AB上，若满足AC2=BC⋅AB，则称点C为线段AB的黄金分割点(如图1).如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36∘，BD平分∠ABC交AC于点D．(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求出线段AD的长．20.如图①，在线段AB上找一点C，点C把线段AB分为AC和CB两段，其中BC是较短的一段，如果BC·AB=AC2，那么称线段AB被点C黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、建筑等艺术领域．如图②，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿的距离(√5的近似值取2.2)．21.定义：底与腰的比是√5−12的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图，已知△ABC中，AC=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1．(1)证明：AB2=AA1⋅AC；(2)探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；(提示：此处不妨设AC=1)(3)应用：已知AC=，作A1B1//AB交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2//AB交B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3//AB交BC于B3，…，依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示A n−1A n.(n为大于1的整数，直接回答，不必说明理由)22.如图1，点C将线段AB分成两部分，如果ACAB =BCAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果S1S =S2S1，那么称直线l为该图形的黄金分割线．(1)如图2，在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，研究小组猜想：直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？(2)三角形的中线是该三角形的黄金分割线吗？请直接回答“是”或者“不是”．(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF//CE，交AC于点F，连接EF(如图3)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．(4)类似“黄金分割线”得“黄金分割面”定义：截面a将一个体积为V的图形分成体积为V1，V2的两个图形，且V1V =V2V1，则称截面a为该图形的黄金分割面．问题：如图4，在长方体ABCD−EFGH中，T是线段AB上的黄金分割点，请你说明经过点T且平行于平面BCGF的截面QRST是长方体的黄金分割面．答案和解析1.D解：由于P为线段AB=1的黄金分割点，且PA>PB，则PA=0.618×1=0.618．2.A解：根据题意得：上球体到塔底部的距离为较长的线段时，则它到塔底部的距离为0.618×468≈289.2米；3.A解：设整个线段长为1，较长段为x，可以列出的方程为1−xx =x1，4.A解：∵线段AB=4，点C是AB黄金分割点，AC>BC，∴BC=4×3−√52=6−2√5，AC=AB−BC=4−(6−2√5)=2√5−2．5.B解：一条线段的黄金分割点有2个．6.C解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAB=90°，设正方形ABCD的边长为2a，∵E为AD的中点，∴AE=a，在Rt△EAB中，由勾股定理得：BE=√AE2+AB2=√a2+(2a)2=√5a，∵EF=BE，∴EF=√5a，∴AF=EF−AE=√5a−a=(√5−1)a，即AF=AH=(√5−1)a，∴S1=AF×AH=(√5−1)a×(√5−1)a=6a2−2√5a2，S2=S正方形ABCD −S长方形ADIH=2a×2a−2a×(√5−1)a=6a2−2√5a2，即S1=S2，7.C解：根据黄金分割的定义可知A、B、D正确;C、如果线段AB被点C黄金分割(AC>BC)，那么AC与AB的比叫做黄金比，所以C 错误．8.D解：∵AB=AC，∠BAC=108°，∴∠B=∠C=36°，∵∠BAC=108°，AD、AE将∠BAC三等分交边BC于点D，点E，∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°，∴△BDA∽△BAC，∴BDBA =BABC，又∵∠ADC=∠B+∠BAD=72°，∠DAC=∠BAC−∠BAD=72°，∴∠ADC=∠DAC，∴CD=CA=BA，∴BD=BC−CD=BC−AB，则BC−BABA =√5−12，即BDBA=BABC=√5−12．故D错误；9.23解：根据黄金比的值得：37×√5−12=37×0.618≈23℃．10.(5√5−5)或(15−5√5)解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点，若BP 是较长的线段，若AB =10cm ， ∴BP BA=√5−12， ∴√5−12×10=5√5−5(cm)．∵点P 是线段AB 的黄金分割点，若BP 是较短的线段，若AB =10cm ， BP =10−(5√5−5)=15−5√5(cm)，11.1.5解：由题意知AC ：AB =BC ：AC ， ∴AC ：AB ≈0.618，∴BC ≈AB(1−0.618)=1.528≈1.5(cm) ∴BC =1.512.3.47解：设身长xcm ，根据黄金分割的定义得：x 5.62=0.618，解得：x ≈3.47．13.8cm解：根据已知条件得下半身长是165×0.6=99cm ， 设需要穿的高跟鞋是ycm ，则根据黄金分割的定义得： 8,618.016599≈=++y yy经检验y =8是方程的解14.12cm解：设宽为xcm ，由题意得， x ：20=√5−12，解得x =10√5−10≈12．15.√5−12(或0.618)解：∵点C为线段AB的黄金分割点，，∴AC=√5−12AB，∴P点出现在线段AC上的概率为：ACAB =√5−12≈0.618．16.解：点D是线段AC的黄金分割点，理由如下：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=180∘−36∘2=72°，又∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=12∠ABC=12×72°=36°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°，AD=BD．∴∠BDC=∠C，BD=BC．∵∠C=∠C，∠DBC=∠BAC，∴△BCD∽△ACB，∴CD:CB=BC:AC，即：CD:AD=AD:AC，∴点D是线段AC的黄金分割点．17.(1)解：在Rt△APD中，PA=12AB=1，AD=2，∴PD=√AD2+AP2=√5，∴AM=AF=PF−PA=PD−PA=√5−1，DM=AD−AM=2−(√5−1)=3−√5；(2)证明：∵AM2=(√5 −1)2=6−2√5 ,AD⋅DM=2(3−√5 )=6−2√5，∴AM2=AD⋅DM；(3)点M是AD的黄金分割点．点A是BF的黄金分割点．理由如下：∵AM2=AD⋅DM，∴AMAD =DMAM=√5−12，∴点M是AD的黄金分割点；同理可得：AB2=AF⋅BF，∴AFAB =ABBF=√5−12，∴点A是BF的黄金分割点．18.证明：∵AB=2，BD=12AB，∴BD=1．∵BD⊥AB于点B，∴AD=√AB2+BD2=√5，∴AE=AD−DE=√5−1，∴AC=AE=√5−1，∴AC=√5−12AB，∴点C是线段AB的黄金分割点．19.(1)证明：∵AB=AC=1，，∵BD平分∠ABC交AC于点D，，，∴DA=DB，BD=BC，∴AD=BD=BC，∴∠DBC=∠A=36º∴△BDC∽△ABC，∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD⋅AC，∴AD2=CD⋅AC，∴点D是线段AC的黄金分割点；(2)解：设AD=x，则CD=AC-AD=1-x，∵AD2=CD⋅AC，∴x2=1-x，解得x1=√5-12，x2=-√5-12，即AD的长为√5-12．20.解：设太和门到太和殿的距离为x丈，由题意可得，x2=100(100−x)解得，x1=−50+50√5，x2=−50−50√5(舍去)则x ≈−50+50×2.2=60，答：太和门到太和殿的距离为60丈．21.(1)证明：∵AC =BC ，∠C =36°，∴∠A =∠ABC =72°，∵BA 1平分∠ABC ，∴∠ABA 1=12∠ABC =36°， ∴∠C =∠ABA 1， 又∵∠A =∠A ，∴△ABC∽，△AA 1B∴ABAA 1=AC AB ，即AB 2=AC ·AA 1;(2)解：△ABC 是黄金等腰三角形，理由：由(1)知，AB 2=AC ·AA 1，设AC =1，∴AB 2=AA 1，又由(1)可得：AB =A 1B ，∵∠A 1BC =∠C =36°，∴A 1B =A 1C ，∴AB =A 1C ，∴AA 1=AC −A 1C =AC −AB =1−AB ，∴AB 2=1−AB ，设AB =x ，即x 2=1−x ，∴x 2+x −1=0，解得：x 1=−1+√52，x 2=−1−√52(不合题意舍去)， ∴AB =√5−12， 又∵AC =1，∴ABAC =√5−12， ∴△ABC 是黄金等腰三角形；(3)解：由(2)得；当AC =a ，则AA 1=AC −A 1C =AC −AB =a −AB=a −−1+√52a =(√5−12)2a ，同理可得：A 1A 2=A 1C −A 1B 1=AC −AA 1−A 1B 1=a −(√5−12)2a −√5−12A 1C =a −(√5−12)2a −√5−12[a −(√5−12)2a] =(√5−12)3a.故A n−1A n =(√5−12)n+1a.22.解：(1)直线CD 是△ABC 的黄金分割线．理由如下： 设△ABC 的边AB 上的高为h ．则S △ADC =12AD ⋅ℎ，S △BDC =12BD ⋅ℎ，S △ABC =12AB ⋅ℎ， ∴S △ADC S △ABC =AD AB ，S △BDC S △ADC =BD AD ． 又∵点D 为边AB 的黄金分割点，∴AD AB =BD AD ，∴S △ADC S △ABC =S△BDC S △ADC ． 故直线CD 是△ABC 的黄金分割线．(2)不是．∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴s 1=s 2=12s ，即s 1s ≠s2s 1， 故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．(3)∵DF//CE ，∴△DFC 和△DFE 的公共边DF 上的高也相等，∴S △DFC =S △DFE ，∴S △ADC =S △ADF +S △DFC=S △ADF +S △DFE=S △AEF ，S △BDC =S 四边形BEFC ．又∵S △ADCS △ABC =S△BDC S △ADC ， ∴S △AEF S △ABC =S 四边形BEFC S △AEF ．因此，直线EF 也是△ABC 的黄金分割线．(4)∵T 是线段AB 上的黄金分割点，∴AT AB =TB AT ，∵V 1=AT ·AE ·AD ，V 2=TB ·BC ·BF ，V =AB ·AE ·AD ，又∵AE=BF，AD=BC，∴V1V =AT·AE·ADAB·AE·AD=ATAB，V2V1=TB·BC·BFAT·AE·AD=TBAT，∴V1V =V2V1，∴经过点T且平行于平面BCGF的截面QRST是长方体的黄金分割面．。