2020中考复习——黄金分割专题训练（二）班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、选择题1. 已知矩形ABCD 中，AB =1，在BC 上取一点E ，使BE =1，过点E 作EF ⊥AD ，F 是垂足．若点E 是线段BC 的黄金分割点(BE >EC)，则矩形ABCD 的面积(精确到0.1)为( )A. 1.5B. 1.6C. 1.7D. 1.82. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽约为( )A. 12.36 cmB. 13.6 cmC. 32.36 cmD. 7.64 cm3. 已知线段AB =1，C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 的长度为( )A. √5−12B. 3−√52C. √5−12或3−√52D. 以上都不对4. 已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，则下列等式中成立的是( )A. BC 2=AC ⋅ABB. AC 2=2AB ⋅BCC. AB 2=AC ⋅BCD. AC 2=BC ⋅AB5. 我们把宽与长的比值等于黄金比例√5−12的矩形称为黄金矩形.如图，在黄金矩形ABCD (AB >BC)的边AB 上取一点E ，使得BE =BC ，连接DE ，则AEAD等于( )A. √22B. √5−12C. 3−√52D. √5+126.矩形的两边长分别为a，b，下列数据能构成黄金矩形的是()A. a=4，b=√5+2B. a=4，b=√5−2C. a=2，b=√5+1D. a=2，b=√5−17.如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB=90∘，BC=12AC，以点B为圆心，BC长为半径做弧，交AB于点D，再以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E，下列结论错误的是()A. BCAB =√55B. AEAC=√5−12C. ECAC=3+√52D. ACAB=2√558.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为()A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm二、填空题9.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为______cm．10.已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP2=AB·BP，那么AP长为______厘米．11.已知a−ba =13，则ab的值为;已知点P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，若AB=2，则PB=.12.相邻两边长的比值是黄金比的矩形，叫作黄金矩形，从外形看，它最具美感.现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于____厘米．13.一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台AB长为16米，一个主持人现在站在A处，则它应至少再走______米才最理想．(结果精确到0.1米)14.如图，乐器上一根弦固定在乐器面板上A、B两点，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，若AB=10cm，则AC≈_____cm.(结果精确到0.1)15.如图示，在五角星形中，AD=BC，C、D两点都是AB的黄金分割点，且AB=3，则CD=________．三、解答题16.(1)已知ab =35，求a+bb的值；(2)已知点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，AB=2，求PA、PB的长．17.取长为2的定线段AB为边，作正方形ABCD，P为AB的中点，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AFEM，点M落在AD上，如图所示。

(1)求AM，DM的长(2)点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由。

18. 我们已经学过：点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB =BCAC ，那么称点C 为线段AB的黄金分割点．类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S =S2S 1，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．如图2，在ΔABC 中，∠A =36∘，AB =AC ，∠C 的平分线交AB于点D ．(1)证明点D 是AB 边上的黄金分割点； (2)证明直线CD 是ΔABC 的黄金分割线．19. 宽与长的比是√5−12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线与点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H.请在图中找出所有黄金矩形并说明理由．20.定义：底与腰的比是√5−1的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图，已知△ABC中，2AC=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1．(1)证明：AB2=AA1⋅AC；(2)探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；(提示：此处不妨设AC=1)(3)应用：已知AC=，作A1B1//AB交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2//AB交B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3//AB交BC于B3，…，依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示A n−1A n.(n为大于1的整数，直接回答，不必说明理由)21.阅读下列材料，并完成相应任务．古希腊数学家，天文学家欧多克索斯(Eudoxus，约前400−前347)曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，这个相=0.618033988749⋯，黄金分割在我们生活中有广泛运用，黄金分割点等的比就是√5−12也可以用折纸的方式得到．第一步：裁一张正方形的纸片ABCD，先折出BC的中点E，然后展平，再折出线段AE，再展平；第二步：将纸片沿EM折叠，使EB落到线段EA上，B的对应点为B′，展平；第三步：沿AN折叠，使AB落在AE上，B′的对应点为B′′，展平，这时B′′就是AB的黄金分割点．任务：(1)试根据以上操作步骤证明B′′就是AB 的黄金分割点； (2)请写出一个生活中应用黄金分割的实际例子．22. 如图1，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC =√5−12AB ，则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫作线段AB 的黄金“右割”点，根据图形不难发现，线段AB 上另有一点D 把线段AB 分成两条线段AD 和BD ，若BD =√5−12AB ，则称点D是线段AB 的黄金“左割”点． 请根据以上材科，回答下列问题(1)如图2，若AB =8，点C 和点D 分别是线段AB 的黄金“右割”点、黄金“左割”点，则BC =________，DC =________；(2)若数轴上有M ，P ，Q ，N 四个点，它们分别对应的实数为m ，p ，q ，n ，且0<m <p <q <n ，n =3m ，点Q 和点P 分别是线段MN 的黄金“右割”点、黄金“左割”点，求pq 的值．答案和解析1.B解：∵点E是线段BC的黄金分割点(BE>EC)，BE=1，∴BEBC =√5−12，BC=1.6，又∵AB=BE=1，∴矩形ABCD的面积为1.6×1=1.6．2.A解：∵书的宽与长之比为黄金比，书的长为20cm，∴书的宽约为20×0.618=12.36cm．3.C解：∵线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，当AC>BC，∴AC=√5−12AB=√5−12；当AC<BC，∴BC=√5−12AB=√5−12，∴AC=AB−BC=1−√5−12=3−√52．4.D解：∵点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，∴ACAB =BCAC，∴AC2=AB⋅BC；5.B解：设AB=a，∵矩形ABCD为黄金矩形，∴AE=a−√5−12a=3−√52a，∴AE AD =3−√52a√5−12a=√5−12，6.D解：∵宽与长的比是√5−12的矩形叫做黄金矩形，∴ba =√5−12，∴a=2，b=√5−1，7.C解：设BC=a，则AC=2a，由勾股定理得，AB=√AC2+BC2=√5a，由题意得，AE=(√5−1)a，∴EC=(3−√5)a，∴BCAB =√5a=√55，A正确，不符合题意；AE AC =√5−12，B正确，不符合题意；EC AC =3−√52，C错误，符合题意；AC AC =2√52，D正确，不符合题意；8.C解：根据已知条件得下半身长是165×0.6=99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：99+y165+y=0.618，解得：y≈8cm．9.5√5−5解：∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)，∵AB=10cm，∴AP=√5−12×10=(5√5−5)cm．10.(√5−1)解：∵P是线段AB上的一点，且满足AP2=AB⋅BP，∴P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段，∴AP=√5−12AB=2×√5−12=(√5−1)厘米．11.32；3−√5解：(1)已知a−ba =13，可得1−ba=13，∴ba =23，则ab =32；(2)∵点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，AB=2，∴PA=√5−12AB=√5−1，PB=AB−PA=2−(√5−1)=3−√5．12.(10√5−10)解：设所求边长为x，由题意，得x20=√5−12，解得x=(10√5−10)cm．13.6.1解：如图所示：AP<BP，∵BP=√5−12AB=16×√5−12=8√5−8(m)，∴AP=AB−BP=16−(8√5−8)=24−8√5≈6.1(m)．14.6.2解：由于点C是线段AB的黄金分割点，支撑点C是靠近点B的黄金分割点．则AC=10×√5−12=5√5−5≈6.2cm.15.3√5−6解：∵AD=BC，∴AC=BD，∵C、D两点都是AB的黄金分割点，∴AC=BD=√5−12AB，∴CD=(AC+BD)−AB，=2AC−AB，=2×√5−12AB−AB，=(√5−2)AB，=(√5−2)×3，=3√5−6，16.解：(1)∵ab =35，∴可设a=3k，则b=5k，∴a+bb =3k+5k5k=85；(2)∵点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，AB=2，∴PA=√5−12AB=√5−1，PB=AB−PA=2−(√5−1)=3−√5．17.解：(1)在Rt△APD中，AP=1cm，AD=2cm，由勾股定理知PD=√AD2+AP2=√4+1=√5cm，∴AM=AF=PF−AP=PD−AP=(√5−1)cm，DM=AD−AM=(3−√5)cm．(2)∵AM2=(√5−1)2=6−2√5，AD⋅DM=2×(3−√5)=6−2√5，∴AM2=AD⋅DM，∴点M是线段AD的黄金分割点．18.解：(1)点D是边AB上的黄金分割点，理由如下：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=72°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=36°，∴∠BDC=∠B=72°，∠ACD=∠A=36°，∴BC=DC=AD．∵∠A=∠BCD，∠B=∠B，∴△BCD∽△BAC，∴BCAB =BDBC．∴ADAB =BDAD．∴D是AB边上的黄金分割点；(2)直线CD是△ABC的黄金分割线，理由如下：设△ABC的边AB上的高为h，则S△ADC=12AD⋅ℎ，S△DBC=12DB⋅ℎ，S△ABC=12AB⋅ℎ，∴S△ADCS△ABC =ADAB，S△DBCS△ADC=BDAD．∵D是AB的黄金分割点，∴ADAB =BDAD，∴S△ADCS△ABC =S△DBCS△ADC．∴CD是△ABC的黄金分割线．19.解：设正方形的边长为2，由题意得BF=CF=1，CD=2，∴DF=FG=√5，在矩形ABGH中，ABBG =√5+1=√5−12，在矩形CGHD中，CGCD =√5−12，∴矩形ABGH和矩形CGHD均为黄金矩形．20. (1)证明：∵AC =BC ，∠C =36°，∴∠A =∠ABC =72°，∵BA 1平分∠ABC ，∴∠ABA 1=12∠ABC =36°， ∴∠C =∠ABA 1， 又∵∠A =∠A ，∴△ABC∽，△AA 1B∴AB AA 1=ACAB ， 即AB 2=AC ·AA 1;(2)解：△ABC 是黄金等腰三角形，理由：由(1)知，AB 2=AC ·AA 1，设AC =1，∴AB 2=AA 1，又由(1)可得：AB =A 1B ，∵∠A 1BC =∠C =36°，∴A 1B =A 1C ，∴AB =A 1C ，∴AA 1=AC −A 1C =AC −AB =1−AB ，∴AB 2=1−AB ，设AB =x ，即x 2=1−x ，∴x 2+x −1=0，解得：x 1=−1+√52，x 2=−1−√52(不合题意舍去)， ∴AB =√5−12， 又∵AC =1，∴AB AC =√5−12， ∴△ABC 是黄金等腰三角形；(3)解：由(2)得；当AC =a ，则AA 1=AC −A 1C =AC −AB =a −AB=a −−1+√52a =(√5−12)2a ， 同理可得：A 1A 2=A 1C −A 1B 1=AC −AA 1−A 1B 1=a −(√5−12)2a −√5−12A 1C=a −(√5−12)2a −√5−12[a −(√5−12)2a] =(√5−12)3a.故A n−1A n =(√5−12)n+1a.21. (1)证明：设正方形ABCD 的边长为2a ，∵E 为BC 的中点，∴BE =a ，∴AE =√AB 2+BE 2=√5a ．又∵由折叠可得BE =B′E =a ，∴AB′=AE −B′E =(√5−1)a ，又∵AB′=AB′′，∴AB′′AB =(√5−1)a2a =√5−12， ∴点B′′是线段AB 的黄金分割点．(2)答案不唯一．如：节目主持人报幕，总是站在舞台上侧近于0.618的位置才是最佳的位置；时装模特、舞蹈演员腿长和身高的比例也近似于0.618比值．22. 解：(1)12−4√5；8√5−16；(2)由(1)和题意可知：PN =√5−12MN ，MQ =√5−12MN ， 在数轴上，∵0<m <p <q <n ，n =3m ，∴PN =n −P ，MQ =q −m ，MN =n −m ．又n =3m ，∴3m −p =√5−12(3m −m)=(√5−1)m ．∴p =3m −(√5−1)m =4m −√5m ．同理可求q =√5m ．∴p q =√5m√5m =√5√5=4√5−55．解：(1)∵点C 和点D 分别是线段AB 的黄金“右割”点、黄金“左割”点， ∴AC =BD =√5−12AB =√5−12×8=4√5−4，∴BC=8−(4√5−4)=12−4√5；∴DC=BD−BC=(4√5−4)−(12−4√5)=8√5−16；故答案为12−4√5；8√5−16；。