1 1 1 2
2 3
2
2 3 4
1 是 48 6
14、某同学买某种铅笔， 当他买了 a 支， 付了 b 元(a、 b 都是整数)。 6 营业员说： “你要再多买 10 支，我就总共收你 2 元钱，这样相 当于每买 30 支，你就节省 2 元钱” 。那么 a= 5 支，b= 1 元 解：∵a、b 都是整数，∴b=1 D 由题意得：
分母为 24 的正的既约真分数一共有 7、 一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于 1 立方厘米的小正方体，如果在这 些小正方体中，不带红色的小正方体的个数等于 7，那么两面带红色的小正方体的个数等于 36 解：不带红色的小正方体的个数等于 7，说明这个长方体是 3×3×9 的长方体 那么两面带红色的小正方体的个数等于 28+4+4=36 8、 从 100 到 999 这 900 个自然数中， 使得每一数中的一个数码是另外两个数码的平均数， 那么这样的 三位数共有 112 解：因为一个数码是另外两个数码的平均数，则这三个数码可分类如下： 0、2、1；0、4、2；0、6、3；0、8、4；1、3、2；1、5、3；1、7、4；1、9、5 2、4、3；2、6、4；2、8、5；3、5、4；3、7、5；3、9、6； 4、6、5；4、8、6；5、7、6；5、9、7；6、8、7；7、9、8。 那么这样的三位数共有：16×6+4×4=112 个 9、 图中的四边形 ABCD 被 AC 和 BD 分成甲、乙、丙、丁四个三角形，如果 AE=80，BE=60，CE=40， DE=30，那么丙、丁二个三角形面积和是甲、乙二个三角形面积和的 解：S 甲：S 丁=80：40=2：1；S 乙：S 丁=60：30=2：1 ∴S 甲=2 S 丁，S 乙=2 S 丁 S 丙：S 甲=60：30=2：1 ∴S 丙=2S 甲=4 S 丁
4、 在 5、6、7、8、9、10 这六个数字之间分别填上加减乘除四则运算符号，并允许添括号，但不改变 数的顺序，使最后结果为 2000，这样的算式可以是 5×[6×(7×8+9)+10]=2000 5、 边长分别是 6、7、9、10、11、14 的等角六边形 ABCDEF，内接于一个边长为 30 的等边三角形中， 如图所示，同样，这个等角六边形也能内接于另一个边长为 n 的等边三角形中，n≠30，那么 n= 27 解：如图，这个等角六边形也能 9 内接于另一个边长为 27 的等边三 B A 7 角形。 7
F 11 14 9
14
C 10 E 6 D 6 10
11
6、 8 个互不相等的分数，其中每 7 个的和都是分母为 24 的正的既约真分数(分子与分母的最大公约数 是 1 的真分数)，那么这 8 个分数的和是
4 7
解：设 8 个互不相等的分数分别是 a1、a2、a 3、a 4、a 5、a 6、a 7、a 8
3、 如果正整数 n，使得 整数 n 有 解： 8
n + 17 也是正整数，那么这样的正 n−7
个。
24 n + 17 n − 7 + 24 = = 1+ n−7 n−7 n−7 n + 17 也是正整数，则 n-7 必须是 24 的约数，即 n-7=1、2、3、4、6、8、12、24，共 8 个 要使 n−7
1 5 7 11 13 17 19 23 , , , , , , , 8个 24 24 24 24 24 24 24 24 1 5 7 11 13 17 19 23 96 则 7×(a1+a2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8)= + + + + + + + = =4 24 24 24 24 24 24 24 24 24 4 a1+a2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8= ∴ 7
12
16
C
b 2 1 1 + a ) 2，即 − × (10= + a) 2 − × (10= a 30 a 15
可得：a=5 15、 游客在 10 时 15 分由码头划船出游， 要求在当天不迟于 13 时返回， 已知河水流速为 1.4 千米/小时， 且水流是流向码头的，船在静水中的速度为 3 千米/小时，如果他每划 30 分钟就休息 15 分钟，中途不 改变方向，且只能在某次休息后往回划，那么他最多能划离码头 1.7 千米。
2、 ABCD 是一个正方形，它是由 4 个小正方形所组成的， E 和 F 分别是 AD 和 AB 的中点，如果△EFC 的面积是 54，那么 AB= 12 解：设小正方形面积是 S，则大正方形面积是 4S △EFC 的面积是 4S-2 S-0.5 S=1.5 S ∴ 1.5 S=54，∴ S=36 ∴ 4S=36×4=144 从而 AB=12
10 x + y 9x = 1+ x+ y x+ y
因为求最大可能的余数，所以从最大的 99÷18 开始 算，也即 81÷18 开始算 81÷18 余数是 9，81÷17 余数是 13，72÷17 余数是 4，72÷16 余数是 8，81÷16 余数是 1 63÷16 余数是 15 往下就不要算了， 所以所得的最大可能 B A 的余数是 15。 13、一个矩形 ABCD 被分割成九个小矩形，且这些小矩形的面积 如图所示，那么矩形 ABCD 的面积
1999 年上海市中学生业余数学学校预备年级招生试题解答
1、 数列
1 1 1 1 a + + +L + + L 的前 60 项的和是 ，其中 a 和 b 是互质的正 2 × 3 3× 4 4 × 5 b ( n + 1) × ( n + 2 )
46
整数，那么 a+b=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 解： + + +L + = − + − + − +L + − 2 × 3 3× 4 4 × 5 61× 62 2 3 3 4 4 5 61 62 1 1 30 15 ∴ a+b=46 = − = = 2 62 62 31
5 4
D 30 甲 80
倍。
C 丁 E 丙 40 乙 60
S 丙+ S 丁=4 S 丁+ S 丁=5 S 丁 S 甲+ S 乙=2 S 丁+2 S 丁=4 S 丁 ∴丙、 丁二个三角形面积和是甲、 乙二个三角形面 5 积和的 4
10、数 1919 19 除以 6 所得的余数是 14 2L43
100 个19
而 19 除以 6 所得的余数也是 1，∴ 1919 19 除以 6 所得的余数是 1。 14 2L43
100 个19
11、从 0，1，2，…依次一直写到 1000000，那么这些数的所有数码的和是 27000001
解： 12、如果一个两位数除以它的各位数字的和，那么所得的最大的余数可能是 解：设这个两位数为 10x+y，则 15
A
B
1
解： 1919 19 = 19 × 1 + 102 + 104 + L + 102×99 14 2L43
100 个19
(
)
∵ 10 、 10 、 L 、得的余数都是 4
2×99
∴ 1 + 10 + 10 + L + 10
除以 6 所得的余数就是 1+4×99=397 除以 6 所得的余数，是 1