二、运算技巧 ①归类组合：运用交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或 负数)归类计算，如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同 分母结合等。
例：计算：－(0.5)－(－3) + 2.75－(7)
解法一：－(0.5)－(－3) + 2.75－(7)
= (－0.5 + 2.75) + (3－7)
同步练习题1： 1. 计算： 2. 已知0为数轴的原点，A、B两点对应的数分别为1、2，设P1为AB的 中点，P2为AP1的中点，…，P100为P99的中点，求P1，P2，P3，…，P100 所对应的各数之和。 3. 计算：
（分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反 数，有两个相加和为整数，故可用“凑整”法。）
有理数的计算方法与技巧
有理数运算是代数入门的重点，又是难点，是中学数学中一切运算 的基础，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外， 还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，一定要正确运用有理数的运 算法则和运算律，从而使复杂问题变得较简单。
一、四个原则： ①整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减 混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分 拆开，分别统一计算。 ②简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同 时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。 ③口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运 算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。 ④分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段， 同时分别进行运算。
②凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反 数）相消。
将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相 加)，可以降低解题难度，提高解题效率．
例：计算： 分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数， 有两个相加和为整数，故可用“凑整”法。 解：原式
例：计算：19＋299＋3999＋49999 解：19＋299＋3999＋49999 =20－1＋300－1＋4000－1＋50000－1 = (20＋300＋4000＋50000)－4 = 54320－4 = 54316． ③分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘 的形式。 例：计算：
= 2.25－4
=－2
解法二：－(0.5)－(－3) + 2.75－(7)
=－0.5 + 3+ 2.75－7
= (3 + 2－7 ) + (－0.5 + + 0.75 －)=－2 评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样 解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题 时，应学会灵活选择解题方法．
解：原式
例：计算：。 解：原式
例：计算2005×－1001×．
解：2005×－
= (2004＋1)×－(1002－1)× = (2003－1001)＋(＋) =1003 评析：对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易 解决．解这类问题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地 把问题解决． ④约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。 例：计算： 解：原式
例：计算：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88． 解：17.48ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ37＋174.8×1.9＋8.74×88 =17.48×37＋ (17.48×10)×1.9＋17.48×44 =17.48×37＋17.48×19＋17.48×44 = 17.48×(37＋19＋44) = 1748． 评析：很明显，灵活变形，逆用分配律，减少了运算量，提高了解 题效率．
⑧变序 在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在 具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运 算律简化运算． 例：计算：
解：原式
。
例：计算：[4＋(－)]＋[(－)＋6]
解：[4＋(－)]＋[(－)＋6]
= 4＋(－)＋(－)＋6
= [4＋6]＋[(－)＋(－)] = 11＋(－) = 10 评析： 在运算前，首先观察、分析参与运算的数的特征、排列顺序等，适 当交换一下各数的位置，达到简化运算、快速解题的目的．
4. 求和
（分析：由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加，可改变 原式繁难的计算。）
5. 计算：
同步练习题2： 1. 计算： 2. 计算：
3. 计算： 4. 计算： 同步练习题1参考答案： 1. 解法1 ：
原式解法2： 原式
2. 解：设 对应的数为
所以， 3. 解：原式
4. 解：原式
5. 解：原式 ＝ ＝ ＝ ＝
⑤倒序相加：利用运算律，改变运算顺序,简化计算。 例：计算
解：设，把等式右边倒序排列，得
将两式相加，得
即，所以A=4005 所以原式＝4005 ⑥裂项相消法:凡是带有省略号的分数加减运算，可以用这种方法 例： 解：应用关系式 来进行“拆项”。
原式
⑦正逆用运算律：正难则反, 逆用运算定律以简化计算。 乘法分配律a(b+c)=ab+ac在运算中可简化计算．而反过来， ab+ac=a(b+c)同样成立，有时逆用也可使运算简便。 在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特 征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．
同步练习题2参考答案： 1. 解：设（1） 则（2） 则得： 即 （含整体思想） 2. 解：令 则原式 3. 解：令19991998=a，则 原式= 4. 解：设，把等式右边倒序排列，得 将两式相加，得 即， ∴ 原式＝4005