凝聚
飞跃的、质 的变化
具体化
操作-结构概念在认知过程中的作用 ASfard利用一个实验说明结构性概念的认知过程、问题解决 过程中的决定性作用
操作-结构概念在认知过程中的作用
操作-结构概念在认知过程中的作用
比较 解决方法 数学概念 看成结构
实验第一部分 按步骤走、靠感 知、模仿 操作性概念 浅层的、宽泛的
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请 老 师 同 学 们 批 评 指 正
从历史的视角看操作-结构概念在数学概念形成中的作用
2
从心理的视角看操作-结构概念在数学概念形成的中的作用
3
操作-结构概念在认知过程中的作用
从历史的视角看操作-结构概念在数学概念形成中的作用
ASfard认为结构性概念是概念发展更高阶段，但操作性概 念先于结构性概念形成。
eg1：儿童学习数数
eg2：考察13岁儿童除法问题 （50%儿童不能把7除以4的除法问题看成一个分数）
3
教师要加强结构化解题教学
教师要充分重视数学概念的教学
揭示概念本 质属性，给 出定义、名 称、符号
对概念进 行特殊分 类、揭示 概念外延
巩固概念， 利用概念 定义进行 简单识别 活动
概念的应 用与联系， 应用概念 解决问题， 并建立于 已有概念 间的联系
数学概念教学新视角：
数学概念二重性的提出，将数学概念赋予了 动态的观点，概念不再是以往学生头脑中所 认为的服务于做题的工具，概念的形成过程 是建立在已有概念的基础之上的，学习一个 新概念都要经历内化、凝聚、具体化的过程， 才能在认知结构中形成一个新的概念对象， 随着学生学习的概念逐渐增多，头脑中逐渐 建立起概念域与概念系，只有当学生能够将 头脑中的概念梳理清晰时，才可以不变的知 识结构应万变的题目。
[1]喻平.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2010：228-236 [2]罗增新，罗增儒.数学概念表征的初步研究[J].数学教育学报，2003，2：21-23
目 录
对四个名词的理解
对ASfard数学概念的二重性理论的理解
不同视角下操作-结构概念的作用
ASfard数学概念二重性理论对教学的启示
一、对四个名词的理解
1.
2.
3.
4.
操作性概念
结构性概念 一个真实存在的静 态结构，进行处理 时要当作整体，不 必深究细节 类似于“地貌”
过程 是一种操作的概念， 亦可称其为运算性 概念（多见于代数） 或变换性概念（多 见于几何）
对象 是一种结构化的静 态实体或属性
关于过程、算法、 和行为的总和
[3]佘文娟，王光明.也谈Asfard数学概念的二重性理论[J].数学通报.2013，52:7-10
凝聚 在能够熟练完成操作过程后，将操作压缩成一 个更小的单元，更加容易操作，不去关注细枝 末节的内容，而是从整体上把握操作过程。
内化
•学习者能够脱离实际情景完成操作 过程，将实际操作转化成心理上的 操作
三者间是怎样的过程呢？？？
三者间的关系： 从“阶段分层”来看，前者是后者的基础：
内化
连续的、渐变 的、量的变化
Hale Waihona Puke 教师要加强结构化解题教学内化 熟练操作 凝聚，熟能生巧？？？
李士锜认为：一定的练习确实能达到熟能生巧的 效果，而过量的无意义机械练习则会“熟能生笨 数学教学要加强的不是解题数量，而是题目质量，题目的设计要能够 ”，这里的笨不是不会做题，而是只会做题，却 具有一定的特点，如对某一概念不同侧面的题目练习，这样学生做题 不能理解概念的内涵；大量的操作性训练让学生 就不是一道一道零散的留在头脑中，而是一套一套的在头脑中更加整 无暇进行反思，而且这样的机械练习，让学生确 体化，这样学生在题目之间建立联系、辨析，从而在适量的解题过程 实熟悉了一些公式、法则，但是也让解题变成了 中，加深了对概念的结构性理解，更有助于学生从凝聚阶段向具体化 一种“自动化”运作，当题目满足某种结构时， 阶段的飞跃。 学生就像打开了开关一样按流程做题。
英国数学教育家道尔给出的一下诸多实例，可以帮我们 理解过程和对象这两个概念
操作性概念、结构性概念、过程与对象的关系？？？
数 学 概 念
操作性概念 过程
共存于
认知结构
结构性概念
对象
数学概念该如何划分，哪些概念具有二重性？？？
代数概念
ASfard在文中提到：无论理解的定义是什么，对于理解数学来说，将一个函 数或者数字当作是一个过程一个对象的能力都是必不可少的。如果我们要仔 细看任何数学概念，通常我们就会发现，它可以被定义——从而构思——无 论是在结构上还是操作上。特别是在代数中，许多概念既表现为一种过程操 作，又表现为对象、结构，概念往往兼有这样的二重性。
实验第二部分 整体把握、按图索骥 结构性概念 深层的、较窄的
实验说明：操作性概念对于问题解决、认知过程来说是必须的， 但不能解决全部问题，而结构性概念却可以在全部认知过程以 及问题解决过程中给予人们引导和帮助。
1 ASfard数 学概念二 重性理论 对教学的 启示
教师要充分重视数学概念教学
2
教师要注重数学知识的螺旋式上升
数学概念的二重性之 间是什么关系呢？？？
概念形成过程：先操作后结构，即过程向对象的转变，过程既慢又 困难，最终在认知结构中共存，不同时机发挥不同作用。 由过程向对象转化的这一过程构成了数学思维特别是代数思维（包 括算术）的一个基本形式。（数学思维现代研究的一个重要成果）
1 不同视角 下操作-结 构概念的 作用
A∙Sfard数学概念的二重性理论 代数学习理论
汇报人：董双 1611290021
前 言
以色列著名数学教育家斯法德
数学概念的二重性：同一概念在过程和对象 两个不同方面的思考
在众多研究成果中都认为并非所有的数学概念都具有二重性，且大多研究 中都以代数中的概念为例分析数学概念二重性。
前 言
喻平认为将数学概念分为陈述性概念和运算性概念，且认为 具有二重性的数学概念主要是运算性概念，陈述性概念一般 不具有二重性。[1] 罗新兵和罗增儒也认为有些数学概念，特别是代数概念是具 有二重性的。[2]
eg3：负数概念的产生 （ Asfard认为每一次数的范围扩大都经历这样一个 过程“前概念阶段——操作概念阶段——结构概念阶段”）
从心理的视角看操作-结构概念在数学概念形成的中的作用
根据学生的心理运行机制提出了三阶段数学概念发展模式： 内化——凝聚——具体化
具体化
完全将数学概念看成是一个 静态的实体结构，视角也发 生了全新的转变
教师要注重数学知识的螺旋式上升eg：函数概念
初中阶段（正比例、一次函数、二次函数、反比例函数）用 变量的观点来定义，对应每一个x都有一个y值，这样学生在认 知中建构了一种计算过程，当操作概念得到强化后，教师将图 像引入教学，这样学生对函数的理解就从过程逐渐上升到对象。 高中阶段对函数的定义方式变成了映射和法则，这时学生容 易把f（x）理解成一种关系，但法则也是一种过程，是一种将 自变量经过一定的规律映射到函数值的变化。 对于同一个概念，从不同角度分析，可能会得到不止一个“过 程-对象”的区分方式。 在数学教学中，要特别注重学生知识间的联系与区别，注重数 学知识的螺旋上升，让学生对概念的理解不断深化，抓住概念 本质并灵活运用。