2018年甘肃省天水市甘谷一中高一（上）期末数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={1，2}，B={2，3}，则A∪B=（）A．{2} B．{1，2，3} C．{1，3} D．{2，3}2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台3．若直线ax+2y+a﹣1=0与直线2x+3y﹣4=0垂直，则a的值为（）A．3 B．﹣3 C．D．4．圆柱底面圆的半径和圆柱的高都为2，则圆柱侧面展开图的面积为（）A．4πB．C．8πD．5．用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为（）A．12 B．24 C．D．6．圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣6y=0的位置关系（）A．相交 B．相切 C．外离 D．内含7．圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为（）A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C．x﹣y+4=0 D．x﹣y+2=08．函数的定义域是：（）A．上的最大值与最小值之差为，则a= ．16．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．集合A={x|2x﹣1≥1}，B={x|log2（3﹣x）＜2}，求A∩B，A∪B，（∁R A）∪（∁R B）．18．已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）．（Ⅰ）求AB的中垂线方程；（Ⅱ）求过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的方程；（Ⅲ）一束光线从B点射向（Ⅱ）中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在的直线方程．19．如图，已知AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，D是线段PA的中点，E是线段AC上的一点．求证：（Ⅰ）若E为线段AC中点，则DE∥平面PBC；（Ⅱ）无论E在AC何处，都有BC⊥DE．20．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，m∈R．（Ⅰ）若方程C表示圆，求m的取值范围；（Ⅱ）若圆C与直线l：4x﹣3y+7=0相交于M，N两点，且|MN|=，求m的值．21．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=，CC1=1，M为线段AB的中点．（1）求异面直线DD1与MC1所成的角；（2）求直线MC1与平面BB1C1C所成的角；（3）求三棱锥C﹣MC1D1的体积．22．已知点A（﹣1，2），B（0，1），动点P满足．（Ⅰ）若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；（Ⅱ）若点Q在直线l1：3x﹣4y+12=0上，直线l2经过点Q且与曲线C有且只有一个公共点M，求|QM|的最小值．2018年甘肃省天水市甘谷一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={1，2}，B={2，3}，则A∪B=（）A．{2} B．{1，2，3} C．{1，3} D．{2，3}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的并集即可．【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}．故选B2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台【考点】由三视图求面积、体积．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，则该几何体可以是圆台．故选D．3．若直线ax+2y+a﹣1=0与直线2x+3y﹣4=0垂直，则a的值为（）A．3 B．﹣3 C．D．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．【解答】解：∵直线ax+2y+a﹣1=0与直线2x+3y﹣4=0垂直，∴，解得a=﹣3．故选：B．4．圆柱底面圆的半径和圆柱的高都为2，则圆柱侧面展开图的面积为（）A．4πB．C．8πD．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】圆柱侧面积=底面周长×高．【解答】解：圆柱的侧面积展开图的面积S=2π×2×2=8π，故选C．5．用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为（）A．12 B．24 C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据斜二测画法的规则，分别求出直观图的边长关系，即可求直观图的面积．【解答】解：根据斜二测画法的规则可知，矩形的直观图为平行四边形，其中O'C'=OC=6，O'A'=OA=2，∠A'O'C'=45°，∴平行四边形的面积S=2S△O'A'C'=2×=，故选：C．6．圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣6y=0的位置关系（）A．相交 B．相切 C．外离 D．内含【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】先将圆的一般式方程化成标准方程，然后根据圆的方程得出圆的圆心坐标和半径，求出圆心距和半径之和等，再根据数量关系来判断两圆的位置关系即可．【解答】解：∵圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣6y=0，∴圆O1：（x﹣1）2+y2=1和圆O2：x2+（y﹣3）2=9，即圆O1的圆心为（1，0），半径为1，圆O2的圆心为（0，3），半径为3，两个圆的圆心距为： =，∴3﹣1=2＜＜3+1，∴两个圆的位置关系是相交．故选：A．7．圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为（）A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C．x﹣y+4=0 D．x﹣y+2=0【考点】圆的切线方程．【分析】本题考查的知识点为圆的切线方程．（1）我们可设出直线的点斜式方程，联立直线和圆的方程，根据一元二次方程根与图象交点间的关系，得到对应的方程有且只有一个实根，即△=0，求出k值后，进而求出直线方程．（2）由于点在圆上，我们也可以切线的性质定理，即此时切线与过切点的半径垂直，进行求出切线的方程．【解答】解：法一：x2+y2﹣4x=0y=kx﹣k+⇒x2﹣4x+（kx﹣k+）2=0．该二次方程应有两相等实根，即△=0，解得k=．∴y﹣=（x﹣1），即x﹣y+2=0．法二：∵点（1，）在圆x2+y2﹣4x=0上，∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直．又∵圆心为（2，0），∴•k=﹣1．解得k=，∴切线方程为x﹣y+2=0．故选D8．函数的定义域是：（）A．上递减，在上的最大值与最小值之差为，则a= 4 ．【考点】对数函数的单调性与特殊点；函数的最值及其几何意义．【分析】利用函数的单调性表示出函数的最大值和最小值，利用条件建立等量关系，解对数方程即可．【解答】解：∵a＞1，函数f（x）=log a x在区间上的最大值与最小值分别为log a2a，log a a=1，它们的差为，∴，a=4，故答案为416．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是③④．【考点】棱柱的结构特征．【分析】将展开图复原为几何体，如图，根据正方体的几何牲，分别四个命题的真假，容易判断选项的正误，求出结果．【解答】解：展开图复原的正方体如图，不难看出：①BM与ED平行；错误的，是异面直线；②CN与BE是异面直线，错误；是平行线；③CN与BM成60°；正确；④DM与BN是异面直线．正确判断正确的答案为③④故答案为：③④三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．集合A={x|2x﹣1≥1}，B={x|log2（3﹣x）＜2}，求A∩B，A∪B，（∁R A）∪（∁R B）．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】首先根据指数函数和对数函数的特点确定出A和B，然后根据交集、并集、补集的定义得出答案即可．【解答】解：∵2x﹣1≥1，∴x﹣1≥0，解得x≥1，∴A={x|x≥1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵log2（3﹣x）＜2，∴0＜3﹣x＜4，解得﹣1＜x＜3，∴B={x|﹣1＜x＜3}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴A∩B={x|1≤x＜3}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣A∪B={x|x＞﹣1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（C R A）∪（C R B）=C R（A∩B）={x|x＜1或x≥3}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）．（Ⅰ）求AB的中垂线方程；（Ⅱ）求过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的方程；（Ⅲ）一束光线从B点射向（Ⅱ）中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在的直线方程．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（I）先由中点坐标公式求出中点坐标，然后根据垂直求出中垂线的斜率，进而由点斜式求出直线方程；（II）根据平行得出斜率，从而由点斜式求出直线方程；（III）求得点B关于直线l的对称点B'的坐标，然后求出斜率，再由点斜式求出直线方程即可．【解答】解：（Ⅰ），，∴AB的中点坐标为（5，﹣2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，∴AB的中垂线斜率为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴由点斜式可得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴AB的中垂线方程为3x﹣4y﹣23=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由点斜式﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴直线l的方程4x+3y+1=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）设B（2，2）关于直线l的对称点B'（m，n）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由点斜式可得，整理得11x+27y+74=0∴反射光线所在的直线方程为11x+27y+74=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．如图，已知AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，D是线段PA的中点，E是线段AC上的一点．求证：（Ⅰ）若E为线段AC中点，则DE∥平面PBC；（Ⅱ）无论E在AC何处，都有BC⊥DE．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）由三角形中位线定理可得DE∥BC，进而由线面平行的判定定理得到DE∥平面PBC；（Ⅱ）要证明“无论E在AC何处，都有BC⊥DE”，问题转化为证明BC⊥平面PAC．【解答】解：（Ⅰ）∵D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC．∵DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC；（Ⅱ）∵AB是圆的直径，C是圆上任一点，∴BC⊥AC，又∵PA垂直圆所在的平面，∴BC⊥PA，又∵AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC，∵DE⊂平面PAC，∴无论E在AC何处，都有BC⊥DE．20．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，m∈R．（Ⅰ）若方程C表示圆，求m的取值范围；（Ⅱ）若圆C与直线l：4x﹣3y+7=0相交于M，N两点，且|MN|=，求m的值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）关于x，y的方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=﹣m+5，可得﹣m+5＞0，即可求m的取值范围；（Ⅱ）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可求m的值．【解答】解：（Ⅰ）关于x，y的方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=﹣m+5 ∵方程C表示圆时，∴﹣m+5＞0，解得 m＜5；（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心C（1，2），半径为，∵圆C与直线l：4x﹣3y+7=0相交于M，N两点，且|MN|=，∴，∴m=1．21．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=，CC1=1，M为线段AB的中点．（1）求异面直线DD1与MC1所成的角；（2）求直线MC1与平面BB1C1C所成的角；（3）求三棱锥C﹣MC1D1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．【分析】（1）说明∠MC1C就是异面直线DD1与MC1所成的角，连接MC，在△C1MC中求解即可．（2）连接BC1，说明∠MC1B为直线MC1与平面BB1C1C所成的角，由△MC1B为Rt△．求解即可．（3）利用等体积转化，即可求三棱锥C﹣MC1D1的体积．【解答】解：（1）因为C1C∥D1D，所以∠MC1C就是异面直线DD1与MC1所成的角，…连接MC，则△C1MC为Rt△，得MC=，MC1=2，所以∠MC1C=60○．即异面直线DD1与MC1所成的角为60°；…（2）因为MB⊥平面B1C1CB，连接BC1，则∠MC1B为直线MC1与平面BB1C1C所成的角，…由△MC1B为Rt△，得BC1=，MC1=2，所以∠MC1B=30○，即直线MC1与平面BB1C1C所成的角为300；…（3）．…..22．已知点A（﹣1，2），B（0，1），动点P满足．（Ⅰ）若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；（Ⅱ）若点Q在直线l1：3x﹣4y+12=0上，直线l2经过点Q且与曲线C有且只有一个公共点M，求|QM|的最小值．【考点】轨迹方程．【分析】1）设P点的坐标为（x，y），利用点A（﹣1，2），B（0，1），动点P满足，建立方程，整理即得点P的轨迹方程；（2）结合题意，|QM|最小时，|CQ|最小，当且仅当圆心C到直线的距离最小，利用勾股定理，求出|QM|就是最小值．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），则∵点A（﹣1，2），B（0，1），动点P满足，∴，∴化简（x﹣1）2+y2=4；（Ⅱ）由题意，|QM|最小时，|CQ|最小，当且仅当圆心C到直线的距离最小，此时d==3，∴由勾股定理可得|QM|的最小值为=．。