热点专项练(二) 方程与不等式
类型一 解不等式或不等式组
1.(2017·浙江舟山)小明解不等式≤1的过程如图.请指出他解答过程中错误步骤的序号,
并写出正确的解答过程.
解:去分母,得3(1+x)-2(2x+1)≤1. ①
去括号,得3+3x-4x+1≤1. ②
移项,得3x-4x≤1-3-1. ③
合并同类项,得-x≤-3. ④
两边都除以-1,得x≤3. ⑤
解错误的是①②⑤,正确解答过程如下:
去分母,得3(1+x)-2(2x+1)≤6,
去括号,得3+3x-4x-2≤6,
移项,得3x-4x≤6-3+2,
合并同类项,得-x≤5,
两边都除以-1,得x≥-5.
2.(2018·山东日照)实数x取哪些整数时,不等式2x-1>x+1与x-1≤7-x都成立?
解解不等式组
解不等式①,得x>2.
解不等式②,得x≤4.
所以不等式组的解集为2
类型二 列方程(组)解应用题
3.(2018·湖南张家界)列方程解应用题:《九章算术》中有“盈不足术”的问题,原文如下:“今有
共買羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三.问人数、羊價各幾何?”题意是:若干人共同出资买羊,
每人出5元,则差45元;每人出7元,则差3元.求人数和羊价各是多少?
解设买羊的有x人,则羊价为(5x+45)元.
根据题意,得5x+45=7x+3.
解得x=21.
5×21+45=150(元).
答:买羊人有21人,羊价为150元.
4.(2018·山东聊城)建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程.某工程公司承建的一段路基工
程的施工土方量为120万立方,原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150
天完成.由于特殊情况需要,公司抽调甲队外援施工,由乙队先单独施工40天后甲队返回,两队又共
同施工了110天,这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方.
(1)问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方?
(2)在抽调甲队外援施工的情况下,为了保证150天完成任务,公司为乙队新购进了一批机械来提高
效率,那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任务?
解(1)设甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为x万立方,y万立方,
由题意得解得
答:甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为0.42万立方,0.38万立方.
(2)设乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高m万立方才能保证按时完成任务,由题意
得150m≥120-103.2,
解得m≥0.112.
答:乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高0.112万立方才能保证按时完成任务.
类型三 一元二次方程的应用
5.(2017·安徽合肥模拟)某种商品的标价为400元/件,经过两次降价后的价格为324元/件,并且
两次降价的百分率相同.
(1)求该种商品每次降价的百分率.
(2)若该种商品进价为300元/件,两次降价共售出此种商品100件,为使两次降价销售的总利润不
少于3 210元.问第一次降价后至少要售出该种商品多少件?
解(1)设该种商品每次降价的百分率为x%,
依题意得400×(1-x%)2=324,
解得x=10或x=190(舍去).
答:该种商品每次降价的百分率为10%.
(2)设第一次降价后售出该种商品m件,则第二次降价后售出该种商品(100-m)件,
第一次降价后的单件利润为400×(1-10%)-300=60(元);
第二次降价后的单件利润为324-300=24(元).
依题意得60m+24×(100-m)=36m+2400≥3210,解得m≥22.5.
所以m≥23.
答:为使两次降价销售的总利润不少于3210元,第一次降价后至少要售出该种商品23件.