第二章 方程（组）与不等式（组）一、方程与方程（组）1.方程与方程（组）有关概念 （1）方程：含有未知数的等式。

（2）整式方程：重点研究一元一次方程（ax b a +=≠00，）和一元二次方程（ax bx c a 200++=≠，）。

（3）分式方程（可化为一元一次方程的分式方程） （4）二元一次方程组2.方程（组）的解与解方程（组）（1）方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解也叫做根。

（2）方程组的解：使方程组中每个方程左右两边的值都相等的所有未知数的值，叫做该方程组的解。

（3）解方程：求方程解的过程。

（4）等式的基本性质：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式； 等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不是零），所得的结果仍是等式。

（5）一元一次方程（包括含字母系数的一元一次方程）解法的一般步骤： 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1（6）一元二次方程的解法：直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法； （7）一次方程组的解法：一次方程组通过代入消元或加减消元转化为一次方程来解决。

（8）可化为一元一次方程的分式方程的解法；分式方程通过去分母或换元转化为整式方程来解决，注意验根。

（9）二元一次方程组的解法：通过代入消元或加减消元转化为一元一次方程来解决。

※3.一元二次方程ax bx c a 200++=≠()根的判别式。

∆=->⇔b ac 240方程有两个不相等的实数根 ∆=-=⇔b ac 240方程有两个相等的实数根∆=-<⇔b ac 240方程没有实数根4.应用问题解应用题时，应该有两步检验，一是检验所求得的解是否为原方程（组）的解；二是检验它是否符合实际意义。

（1）列方程（组）解应用问题常用的基本数量关系： ①数量的和、差、倍、分；②距离＝速度×时间，注意变式的情况； ③工作量＝工作效率×工作时间；④100%⨯增长数增长率＝基数⑤数字问题。

⑥面积问题：同底等高（等底等高）三角形的面积相等。

（2）列方程（组）解应用问题的一般步骤：审、设、表、列、解、检、答。

（3）用方程的思想解综合性问题。

（三）、考点解读例1.代数式213k -与代数式143k +的值相等时，求k 的取值。

分析：由代数式的值的意义，给定k 的一个值，两个代数式都分别有不同的取值，若令两代数式相等，求其字母的值，就用到了方程的思想。

解：根据题意，得：213143k k -=+解得：21349k k -=+54108k k =∴=答：k 的值为8。

说明：本题考察了方程的思想，根的意义及解一元一次方程。

例2.如果a 是关于x 的方程x bx a 20++=的根，且a ≠0，那么a b +的值是多少？分析：由方程根的意义，将a 代入其方程能使两边相等。

解：∵a 是方程x bx a 20++=的根()∴++=++=a ab a a a b 2010，而a ≠0∴++=a b 10即a b +=-1说明：本题考察了方程根的意义、因式分解等知识，同时还考察了恒等变形的能力。

例3.解方程组x y x y -=<>-=<>⎧⎨⎩313252简析：本题特点适用于代入消元和加减消元两种方法，若在平面直角坐标系中画出两个方程所代表的两条直线，然后标出交点坐标，也可以求出方程组的解，即为图象法解方程组。

解法一：（代入消元法）由<1>得：x y =+<>33把<3>代入<2>，得：()332593254+-=+-==-y y y y y把y =-4代入<3>，得：()x x =+-=-341所以x y =-=-⎧⎨⎩14是原方程组的解。

解法二：加减消元法将<1>两边同时乘以3，得：3393x y -=<>由<2>－<3>，得：y =-4 把y =-4代入<1>，得：()x x --==-431所以x y =-=-⎧⎨⎩14是原方程组的解。

解法三：由<1>可得：y x =-3由<2>可得：y x =-352在同一个平面直角坐标系中作出一次函数y x =-3和一次函数y x =-352的图象，观察图象得交点为（-1，-4）。

所以方程组的解是x y =-=-⎧⎨⎩14说明：代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：（1）在方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程变形成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式（一般称这个等式为关系式）；（2）将关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程求得一个未知数的值，再将它代入关系式，求得另一个未知数的值；（4）把求得的未知数的值用联立符号表示出来。

加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：（1）使方程组中准备消掉的未知数在两个方程中的系数的绝对值相等； （2）把两个方程的两边分别相加或相减，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程求得一个未知数的值，再将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值；（4）把求得的两个未知数的值按字母顺序用联立符号表示出来。

图象法的使用不如上面两种方法普遍，它只对交点的横、纵坐标都是整数值时适宜，其他情况下得进行估值。

例4.选择适当方法解下列方程：（1）2(x-3)=25（2）22x-x =5x -7x （3）212x -3x 08+= 分析：一元二次方程的解法有直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法等。

在解答时应根据题目特点，选择适当的方法，如：（1）适于使用直接开平方法；（2）使用因式分解法较为简捷；（3）可以使用配方法或公式法。

解：（1）方程两边直接开平方，得 x-3=5±12x =8,x =-2∴（2）移项，得：57022x x x x +--= 合并同类项得：6802x x -= 方程左边分解因式得：2340x x ()-=20x =或340x -=∴==x x 12043，（3）a b c ==-=2318，，b ac 224342188-=--⨯⨯=()∴=±x 3224 ∴=+=-x x 1232243224说明：在用公式法和因式分解法解一元二次方程时，要注意把方程化为ax bx c 20++=的形式。

例5.求证：对于任意实数k 关于x 的方程x k x k k 2221210-+++-=()总有两个不相等的实数根。

证明：∵∆=+-+-=++--+=>41421484484802222()()k k k k k k k ∴对于任意实数k ，方程①总有两个不相等的实数根。

例6.解分式方程y y y y y y y ---=--+22315622分析：先将等号右边分式的分母因式分解，求出最简公分母，不能忽视验根，解题关键是将分式方程转化为整式方程。

解：①方程两边同乘以()()y y --23，得：y y y y y ()()---=-32212解这个整式方程，得：y =1 检验：把y y y =--123代入()()得()()12130--×≠所以，x =1是原方程的解。

例7.某农户种植花生，原来种植的花生的亩产量为200kg ，出油率为50%（即每100kg 花生可加工成花生油50kg ），现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132kg ，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的12，求：新品种花生亩产量的增长率。

解：设新品种花生亩产量的增长率为x ，则有200150%112132()()++=x x ··解得x x 120232==-..，（不合题意，舍去） 答：新品种花生亩产量的增长率是20%。

注：对于增长率问题，解这类问题的公式是 2a(1x)b ±=，其中，a 是原来的量，x 是平均变化率，n 是改变次数，b 为变化后的量。

（四）、智能训练练习一（方程与方程组）（一）、精心选一选1.下列各方程中，属于一元一次方程的是：A.371x y +=B.x =-2C.1651x x +=- D.xx 210--= 2.如果单项式532351232a bba n n m --和()是同类项，则m 、n 的值是：A.m n ==175， B.m n =-=175， C.m n ==01， D.m n ==075，3.若代数式23x -的值比5-x 的值大5，则x 等于：A.13B.133C.3D.73A.103 B.310 C.-103 D.-3104.把方程()()()x x x -++-=222102化为一元二次方程的一般形式是（） A.54302x x --= B.x 250-= C.52102x x -+= D.54602x x -+= 5.若方程()a x ax -+=232是关于x 的一元二次方程，则a 的取值范围是（） A.a ≠2 B.a ≥0 C.a ≥0且a ≠2 D.a 为任意实数6.已知2是关于x 的一元二次方程32202x a -=的一个根，则a 的值为（） A.2 B.52 C.3 D.727.某工厂原计划每天生产a 个零件，现实际每天多生产b 个零件，则生产m 个零件提前的天数为____________A.m am b - B.m a m a b -+ C.m a b + D.m a b m a +- （二）、细心填一填8.“某数的23与某数的12的差等于9”，设某数为x ，根据题意可列出方程____________。

9.方程x y +=23的解有__________个。

10.已知方程32023xm m++=是关于x 的一元一次方程，则m =____________。

11.若关于x 的方程243x a -=和方程1223()x -=有相同的解，则a =____________。

12.关于x 的方程()()()k k x k x k -++--+=131302，当k____________时，它是一元二次方程，当k____________时，它是一元一次方程。

13.若关于x 的二次方程ax x x 221+=-有实根，则a 的取值范围是____________。

14.已知甲数、乙数之和为43，甲数的3倍比乙数的4倍大3，若设甲数为x ，乙数为y ，由题意得方程组_____________。

15.某市财政收入连续三年以8%的速度递增，若第一年的财政收入为a 亿元，则第三年的财政收入为____________。

（三）、用心做一做 16.解下列方程（1）65331--=-()()x x （2）2134152x x --+=（3）251602x -=（4）x px q 20++=（5）436341x y x y +=+=⎧⎨⎩（6）233283x y x y+=-=17.已知x x 210--=，求x x x 3235+--的值。